算法设计与分析---第二章 递推算法

递推法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。
【例1】数字三角形。如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。 　
1、 一步可沿左斜线向下或右斜线向下走； 　
2、 三角形行数小于等于100；
3、 三角形中的数字为0，1，…，99； 测试数据通过键盘逐行输入，如上例数据应以如下所示格式输入：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

【算法分析】此题解法有多种，从递推的思想出发，设想，当从顶层沿某条路径走到第i层向第i+1层前进时，我们的选择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方向前进，为此，我们可以采用倒推的手法，设a[i][j]存放从i,j 出发到达n层的最大值，则a[i][j]=max{a[i][j]+a[i+1][j]，a[i][j]+a[i+1][j+1]}，a[1][1] 即为所求的数字总和的最大值。

#include 
using namespace std; 
int main() 
{
        
	int n,i,j,a[101][101];   
	cin>>n;
	for (i=1;i<=n;i++)    
		for (j=1;j<=i;j++)      
			cin>>a[i][j];                             
	for (i=n-1;i>=1;i--)    
		for (j=1;j<=i;j++)
		{
           
			if （a[i+1][j]>=a[i+1][j+1])；
				a[i][j]+=a[i+1][j];    
			else  
				a[i][j]+=a[i+1][j+1];      
		}  　 
		cout<<a[1][1]<<endl;  
}

【例2】满足F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2的数列称为斐波那契数列（Fibonacci），它的前若干项是1，1，2，3，5，8，13，21，34……求此数 列第n项（n>=3）。
即：f1=1 （n=1）
f2=1 （n=2）
fn=fn-1 + fn-2 （n>=3）

#include 
#include 
using namespace std; 
int main() 
{
          
	int f0=1,f1=1,f2;     
	int n;     
	cin>>n;
	for (int i=3; i<=n; ++i)     
	{
               
		f2=f0+f1;          
		f0= f1;          
		f1=f2;     
	} 
	printf("%d\n",f2); 
	return 0; 
} 

【例3】 有 2χn的一个长方形方格，用一个1*2的骨牌铺满方格。

编写一个程序，试对给出的任意一个n(n>0), 输出铺法总数。
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序：

#include 
using namespace std; 
int main() 
{
        
	int n,i,j,a[101];   
	cout<<"input n:";                       
	cin>>n;
	a[1]=1;a[2]=2;   
	cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl;   
	cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl;   
	for (i=3;i<=n;i++)                   
	{
     
		a[i]=a[i-1]+a[i-2];      
		cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; 　   
	} 
} 

【例4】昆虫繁殖
【问题描述】 科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫，这种昆虫的繁殖能力很强。每对成虫过x个月产y对卵，每对卵要过两个月长成成虫。假设每个成虫不死，第一个月只有一对成虫，且卵长成成虫后的第一个月不产卵(过X个月产卵)，问过Z个月以后，共有成虫多少对？0= 【输入格式】 x,y,z的数值
【输出格式】 过Z个月以后，共有成虫对数
【输入样例】 1 2 8
【输出样例】 37

#include 
using namespace std; 
int main() 
{
        
	long long a[101]={
     0},b[101]={
     0},i,j,x,y,z;   
	cin>>x>>y>>z;
	for(i=1;i<=x;i++){
     a[i]=1;b[i]=0;}   
		for(i=x+1;i<=z+1;i++)              
		{
          
			b[i]=y*a[i-x];     
			a[i]=a[i-1]+b[i-2];             }
		cout<<a[z+1]<<endl;   
		return 0; 
}		

【例5】位数问题
【问题描述】 在所有的N位数中，有多少个数中有偶数个数字3？由于结果可能很大，你只需要输出这个答案对12345取余的值。
【输入格式】 读入一个数N
【输出格式】 输出有多少个数中有偶数个数字3。
【输入样例】 2
【输出样例】 73
【数据规模】 1<=N<=1000
【样例说明】 在所有的2位数字，包含0个3的数有72个，包含2个3的数有1个，共73个

#include 
using namespace std; 
int main() 
{
        
	int f[1001][2],n,i,x;   
	cin>>n;
	f[1][1]=1;f[1][0]=9;                           
	for(i=2;i<=n;i++)     
	{
               
		x=f[1][0];       
		if(i==n)
			x--;
		f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345;       
		f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345;       
	}    
	cout<<f[n][0];     
	return 0; 
}