墨卡托投影实现

 

又称正轴等角圆柱投影。圆柱投影的一种,由荷兰地图学家墨卡托(G. Mercator)于1569年创拟。为地图投影方法中影响最大的。
设想一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于地球,按等角条件将经纬网投影到圆柱面上,将圆柱面展为平面后,得平面经纬线网。投影后经线是一组竖直的等距离平行直线,纬线是垂直于经线的一组平行直线。各相邻纬线间隔由赤道向两极增大。一点上任何方向的长度比均相等,即没有角度变形,而面积变形显著,随远离标准纬线而增大。该投影具有等角航线被表示成直线的特性,故广泛用于编制航海图和航空图等。
墨卡托投影在切圆柱投影与割圆柱投影中,最早也是最常用的是切圆柱投影。

(http://baike.baidu.com/view/301981.htm)

 

公式参数

 

a -- 椭球体长半轴

b -- 椭球体短半轴

f -- 扁率(a-b) /a

e -- 第一偏心率

e’-- 第二偏心率

N -- 卯酉圈曲率半径

R -- 子午圈曲率半径

B -- 纬度,L -- 经度,单位弧度(RAD)

 -- 纵直角坐标,  -- 横直角坐标,单位米(M)

 

椭球体参数

我国常用的3 个椭球体参数如下(源自“全球定位系统测量规范 GB/T 18314-2001”):

 

椭球体

长半轴 a(米)

短半轴b(米)

Krassovsky(北京54 采用)

6378245

6356863.0188

IAG 75(西安80 采用)

6378140

6356755.2882

WGS 84

6378137

6356752.3142

 

 

墨卡托投影正反解公式

墨卡托投影正解公式:(B,L)→(X,Y),标准纬度B0,原点纬度 0,原点经度L0

 

 

 

墨卡托投影反解公式:(X,Y) →(B,L),标准纬度B0,原点纬度 0,原点经度L0

 

 

 

公式中EXP 为自然对数底,纬度B 通过迭代计算很快就收敛了。

 

程序实现

 

投影的实现封装于一个类class MercatorProj中。

类中定义若干私有变量,保存相关参数

       int __IterativeTimes;      //反向转换程序中的迭代次数

       double __IterativeValue;  //反向转换程序中的迭代初始值

       double __A;    //椭球体长半轴,

       double __B;    //椭球体短半轴,

       double __B0; //标准纬度,弧度

       double __L0; //原点经度,弧度

以上参数的设定由如下几个public函数完成

//设定__A__B

void MercatorProj::SetAB(double a, double b)

{

       if(a<=0||b<=0)

       {

              return;

       }

       __A=a;

       __B=b;

}

//设定__B0

void MercatorProj::SetB0(double b0)

{

       if(b0<-PI/2||b0>PI/2)

       {

              return;

       }

       __B0=b0;

}

//设定__L0

void MercatorProj::SetL0(double l0)

{

       if(l0<-PI||l0>PI)

       {

              return;

       }

       __L0=l0;

}

//构造函数中赋予参数默认值

MercatorProj::MercatorProj()

{

       __IterativeTimes=10;     //迭代次数为10

       __IterativeValue=0;        //迭代初始值

       __B0=0;

       __L0=0;

       __A=1;

       __B=1;

}

 

/*******************************************

投影正向转换程序

double B: 维度,弧度

double L: 经度,弧度

double& X:     纵向直角坐标

double& Y:      横向直角坐标

*******************************************/

int MercatorProj::ToProj(double B, double L, double &X, double &Y)

{

       double f/*扁率*/,e/*第一偏心率*/,e_/*第二偏心率*/,NB0/*卯酉圈曲率半径*/,K,dtemp;

       double E=exp(1);

       if(L<-PI||L>PI||B<-PI/2||B>PI/2)

       {

              return 1;

       }

 

       if(__A<=0||__B<=0)

       {

              return 1;

       }

      

       f =(__A-__B)/__A;

 

       dtemp=1-(__B/__A)*(__B/__A);

       if(dtemp<0)

       {

              return 1;

       }

       e= sqrt(dtemp);

 

       dtemp=(__A/__B)*(__A/__B)-1;

       if(dtemp<0)

       {

              return 1;

       }

       e_= sqrt(dtemp);

 

       NB0=((__A*__A)/__B)/sqrt(1+e_*e_*cos(__B0)*cos(__B0));

 

       K=NB0*cos(__B0);      

      

       Y=K*(L-__L0);

 

       X=K*log(tan(PI/4+B/2)*pow((1-e*sin(B))/(1+e*sin(B)),e/2));

 

       return 0;

}

/*******************************************

投影反向转换程序

double X: 纵向直角坐标

double Y: 横向直角坐标

double& B:     维度,弧度

double& L:     经度,弧度

*******************************************/

int MercatorProj::FromProj(double X, double Y, double& B, double& L)

{

       double f/*扁率*/,e/*第一偏心率*/,e_/*第二偏心率*/,NB0/*卯酉圈曲率半径*/,K,dtemp;

       double E=exp(1);

 

       if(__A<=0||__B<=0)

       {

              return 1;

       }

      

       f =(__A-__B)/__A;

 

       dtemp=1-(__B/__A)*(__B/__A);

       if(dtemp<0)

       {

              return 1;

       }

       e= sqrt(dtemp);

 

       dtemp=(__A/__B)*(__A/__B)-1;

       if(dtemp<0)

       {

              return 1;

       }

       e_= sqrt(dtemp);

 

       NB0=((__A*__A)/__B)/sqrt(1+e_*e_*cos(__B0)*cos(__B0));

 

       K=NB0*cos(__B0);      

      

       L=Y/K+__L0;

       B=__IterativeValue;

       for(int i=0;i<__IterativeTimes;i++)

       {

              B=PI/2-2*atan(pow(E,(-X/K))*pow(E,(e/2)*log((1-e*sin(B))/(1+e*sin(B)))));

       }

      

 

       return 0;

}

另需几个常量和函数:

//圆周率

const double PI=3.1415926535897932;

//角度到弧度的转换

double DegreeToRad(double degree)

{

       return PI*((double)degree/(double)180);            

}

//弧度到角度的转换

double RadToDegree(double rad)

{

       return (180*rad)/PI;            

}

 

测试主函数:

 

       double b0,l0;

       double latS,lgtS,latD,lgtD;

 

b0=30;

       l0=0;

 

       latS=60;

       lgtS=120;

 

       m_mp.SetAB(6378137, 6378245,6378140); // WGS 84

       m_mp.SetB0(DegreeToRad(b0));

       m_mp.SetL0(DegreeToRad(l0));

 

       m_mp.ToProj(DegreeToRad(latS),DegreeToRad(lgtS),latD,lgtD);

 

cout<< latD<<”:”<< lgtD<

// 7248377.351067:11578353.630128

 

       latS=123456;

       lgtS=654321;

 

m_mp.FromProj(latS,lgtS,latD,lgtD);

       latD=RadToDegree(latD);

       lgtD=RadToDegree(lgtD);

 

cout<< latD<<”:”<< lgtD<

// 1.288032: 6.781493

 

 

参考材料: 

《常用地图投影转换公式》 青岛海洋地质研究所 戴勤奋

百度百科

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