【线性代数】行列式、矩阵、向量、线性空间与线性变换

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（P1 ~ P41 + 书《工程数学线性代数第六版》）

1.1 二阶与三阶行列式

1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式

1.1.2 三阶行列式

1.2 全排列和对换

1.2.1 排列及其逆序数

全排列：把n个不同的元素排成一列

所有排列的种数：

 

• 标准排列：对于n个不同的元素，先规定各个元素之间的排列次序
• 逆序：某一对元素的先后顺序与标准次序不同
• 排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数（根据数字的奇偶性分为奇排列、偶排列）

1.2.2 对换

• 对换：将任意两个元素对调
• 相邻对换：将相邻两个元素对调

定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

（推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.

1.3 n阶行列式的定义

1.4 行列式的性质

性质1：行列式与他的转置行列式相等

性质2：对换行列式的两行或两列，行列式变号

（推论：如果行列式有两行或两列完全相同，则此行列式等于零

性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式.

（推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.

性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：

性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

1.5 行列式按行（列）展开

余子式：在n阶行列式中，把（i，j）元a-ij，所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元a-ij的余子式，记作M-ij；记

代数余子式：A-ij

引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元a-ij，外都为零，那么这行列式等于a-ij与它的代数余子式的乘积，即

行列式按行（列）展开法则

定理2：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即

2.1 线性方程组和矩阵

2.1.1 线性方程组

n元非齐次线性方程组

n元齐次线性方程组

2.1.2 矩阵的定义

• 实矩阵：元素是实数的矩阵
• 复矩阵：元素是复数的矩阵
• n阶矩阵/n阶方阵：行数和列数都是n的矩阵
• 行矩阵/行向量：只有一行的矩阵
• 列矩阵/列向量：只有一列的矩阵
• 同型矩阵：两个矩阵的行数和列数均相等。（每个元素也都相等，则两个矩阵相等）
• 零矩阵：元素都是零的矩阵

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法

2.2.2 数与矩阵相乘

2.2.3 矩阵与矩阵相乘

2.2.4 矩阵的转置

定义5：把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT.

2.2.5 方阵的行列式

定义6：由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作detA或|A|.
（应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数（也就是数表A）按一定的运算法则所确定的一个数.

2.2.6 伴随矩阵

按行求的代数余子式按列排放

2.3 逆矩阵

2.3.1 逆矩阵的定义、性质和求法

定义7：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。

定理1：若矩阵A可逆，则|A|≠0.

定理2：

A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵.

（推论：若 AB = E （或 BA = E），则 B是A的逆矩阵

2.3.2 逆矩阵的初步应用

2.4 克拉默法则

2.5 矩阵分块法

3.1 矩阵的初等变换

定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
（i）对换两行（对换i，j两行，记作 r i ↔r j ）；
（ii）以数k≠0 乘某一行中的所有元（第i行乘 k，记作r i ×k） ；
（ iii）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的 k 倍加到第i行上，记作r-i +k*r-j ） .
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换.

• 矩阵A与矩阵B行（列）等价：矩阵 A 经有限次初等行（列）变换变成矩阵 B，
• 矩阵A与矩阵B等价：矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，

性质：

反身性 A ～A；
对称性　若 A～B，则 B～A；
传递性　若 A～B，B～C，则 A～C.

 定义2 ：

（1）非零矩阵若满足

• 非零行在零行的上面；
• 非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，

则称此矩阵为行阶梯形矩阵；

（2）进一步，若 A 是行阶梯形矩阵，并且还满足：　

• 非零行的首非零元为1；
• 首非零元所在的列的其他元均为0，

则称 A 为行最简形矩阵.

定义3：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

性质1：设 A 是一个 m×n 矩阵，

对A施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘相应的 m 阶初等矩阵；

对A施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘相应的 n 阶初等矩阵.

性质2：方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P 1 ，P 2 ，… ，P l，使 A = P 1 P 2 …
P l .

（推理：

3.2 矩阵的秩

定理2：若 A ～B，则 R（A）= R（B）.

（推论：若可逆矩阵 P、Q 使 PA Q =B，则 R（A）= R（B）.

3.3 线性方程组的解

定理3：n 元线性方程组 Ax=b

• 无解的充分必要条件是 R（A）＜R（A，b）；
• 有惟一解的充分必要条件是 R（A）= R（A，b）= n；
• 有无限多解的充分必要条件是 R（A）= R（A，b）＜n.

定理4：n 元齐次线性方程组 Ax=0有非零解的充分必要条件是 R（A）＜n.

定理5：线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 R（A）= R（A，b）.

定理6：矩阵方程 A X = B 有解的充分必要条件是 R（A）= R（A，B）.

定理7：设 AB = C，则 R（C） ≤ min｛ R（A），R（B） ｝ .

4.1 向量组及其线性组合

定义2：给定向量组 A：a 1 ，a 2 ， … ，a m ，对于任何一组实数 k 1 ，k 2 ，… ，k m ，表
达式k 1 a 1 +k 2 a 2 + … +k m a m；称为向量组 A 的一个线性组合，k 1 ，k 2 ， … ， k m 称为这个线性组合的系数.

给定向量组 A：a 1 ，a 2 ，…， a m 和向量 b，如果存在一组数λ 1 ，λ 2 ，…，λ m ，使 b =λ 1 a 1 +λ 2 a 2 + … +λ m a m m，则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示.
向量 b 能由向量组 A 线性表示，也就是方程组x 1 a 1 +x 2 a 2 + … +x m a m = b 有解.

4.2 向量组的线性相关性

定义4：给定向量组 A：a 1 ，a 2 ，…， a m 如果存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ， … ，k m ，使k 1 a 1 +k 2 a 2 + … +k m a m = 0，则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关.

4.3 向量组的秩

定义5：设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r + 向量　a 1 ，a 2 ，…，a r ，满足

• 向量组 A 0 ：a 1 ， a 2 ，…，a r 线性无关；
• 向量组A 中任意r+1 个向量（如果A 中有r+1个向量的话）都线性相关，那么称向量组A 0 是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称量大无关组），

最大无关组所含向量个数r称为向量组 A 的秩，记作 R A .只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 0

（推论：设向量组A 0 ： a 1 ，a 2 ， … ， a r是向量组A的
一个部分组，且满足

• 向量组 A 0 线性无关；
• 向量组 A 的任一向量都能由向量组 A 0 线性表示，

那么向量组 A 0 便是向量组 A 的一个最大无关组.

定理6：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

4.4 线性方程组的解的结构

4.5 向量空间

• 如果向量 空间 V 没有基，那么 V 的维数为 0. 0 维向量空间只含一个零向量　0.
• 若把向量空间 V看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，V的基就是向量组的最大无关组，V的维数就是向量组的秩.

5.1 向量的内积、长度与正交性

5.2 方阵的特征值与特征向量

5.3 相似矩阵

5.4 对称矩阵的对角化

5.5 二次型及其标准型

5.6 用配方法化二次型成标准型

5.7 正定二次型

6 线性空间与线性变换（略）