支配树(Dominator tree)学习笔记 及HDU4694Important Sisters

前置技能： LCA (Tarjan)

今年冬令营上讲的东西现在才学 惭愧惭愧。。
首先做出图G的dfs树T 其中S为起点
定义T中节点 u 的半必经点sdom[u] 为 u的祖先中能经过若干条非树边到达u的(除了sdom[u]直接引出的边 其余边必须为非树边) 深度最小的节点
则对于任意一条边 (v->u)
这里我们默认sdom idom 记录的是dfn
则有

    1.dfn[v]u)为一条树边或前向边   有sdom[u]=Min(dfn[u],sdom[u]);
    2.dfn[v]>dfn[u]  即(v->u)为横插边或反组边  则有sdom[u]=Min(sdom[u],sdom[x]),x为v->LCA(v,u)的路径节点中sdom最小的节点

以上的式子我们可以利用tarjan的LCA 从dfn为n的节点倒推来做
对于idom我们怎么求呢？

令x为u－>sdom[u]路径中sdom最小的节点
    1. sdom[u]=sdom[x]   idom[u]=sdom[x]
    2. sdom[u]!= sdom[x] idom[u]=idom[sdom[u]]

同样x的求解过程我们也可以用tarjan的lca求
至此问题完美解决

至于证明。。
sdom的求解可以感性理解一下
idom嘛。。。我也不会

HDU4694
就是很裸的Dominator Tree了。。
就当是模板练习

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

char c;
inline bool read(int&a)
{a=0;do c=getchar();while(c!=EOF&&(c<'0'||c>'9'));if(c==EOF)return false;while(c<='9'&&c>='0')a=(a<<3)+(a<<1)+c-'0',c=getchar();return true;}
const
    int N=500001;

struct Chain
{
    Chain*next;
    int u;
}*Head[N],*Head2[N],*Head3[N];
inline void Add(Chain**Head,int u,int v)
{
    Chain*tp=new Chain;tp->next=Head[u];Head[u]=tp;tp->u=v;
}

int mn[N],dfn[N],idom[N],sdom[N],id[N],fa[N],f[N];
int cnt;

int find(int x)
{
    if(f[x]==x)return x;
    int y=find(f[x]);
    if(sdom[mn[x]]>sdom[mn[f[x]]])mn[x]=mn[f[x]];
    return  f[x]=y;
}
void dfs(int u)
{
    id[dfn[u]=++cnt]=u;
    for(Chain*tp=Head[u];tp;tp=tp->next)
        if(!dfn[tp->u])dfs(tp->u),fa[dfn[tp->u]]=dfn[u];
}
int n,m;
inline void tarjan(int s)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=sdom[i]=mn[i]=fa[i]=i,dfn[i]=0;
    cnt=0;
    dfs(s);
    int k,x;
    for(int i=cnt;i>1;i--)
    {
        for(Chain*tp=Head2[id[i]];tp;tp=tp->next)
            if(dfn[tp->u])
                find(k=dfn[tp->u]),sdom[i]= sdom[i]for(Chain*tp=Head3[f[i]=x=fa[i]];tp;tp=tp->next)
            find(k=tp->u),idom[k] = sdom[mn[k]] < x?mn[k]:x;
        Head3[x]=NULL;
    }
    for(int i=2;i<=cnt;Add(Head3,id[idom[i]],id[i]),i++)
        {
            if(idom[i]!=sdom[i])idom[i]=idom[idom[i]];
            //if(idom[i]==i)puts("WA");
        }
}


int Ans[N];
void Mp(int u,int p)
{
    Ans[u]=p;
    for(Chain*tp=Head3[u];tp;tp=tp->next)
        Mp(tp->u,p+tp->u);
}


void out(int x)
{if(!x){putchar('0');return ;}if(x>9)out(x/10);putchar('0'+x%10);}

int main()
{
    while(true)
    {
        cnt=0;
        if(!read(n))break;read(m);
        memset(Head,0,sizeof(Head));
        memset(Head2,0,sizeof(Head2));
        memset(Head3,0,sizeof(Head3));
        for(int i=1;i<=m;i++){int a,b;read(a),read(b);Add(Head,a,b),Add(Head2,b,a);}
        tarjan(n);
        Mp(n,n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            out(Ans[i]),putchar(i==n?'\n':' '),Ans[i]=0;
    }


    return 0;
}