bzoj 4174 tty的求助 数论 莫比乌斯反演

题意：求 ∑Nn=1∑Mm=1∑m−1k=0⌊nk+xm⌋

先膜PoPoQQQ大爷。

∑Nn=1∑Mm=1∑m−1k=0⌊nk+xm⌋

=∑Nn=1∑Mm=1∑m−1k=0⌊nk%m+xm⌋+nkm−nk%mm

然后先不考虑n,m，分三部分算。
设 gcd(n,m)=d 。

∑m−1k=0⌊nk%m+xm⌋
=∑m−1k=0⌊d(ndk%md)+xm⌋
然后因为 nd 和 md 互质，所以：
=d∑md−1k=0⌊dk+xm⌋
=d∑md−1k=0(⌊dk+x%mm⌋+x−x%mm)
然后因为 dk 和 x%m 都小于m，所以 dk+x%m 只能是1或0：
=d∑md−1k=0([dk+x%m≥m]+x−x%mm)
=d⌊x%md⌋+dmdx−x%mm
=d⌊xd⌋

∑m−1k=0nkm =nm(m−1)m2 =n(m−1)2

∑m−1k=0nk%mm =d∑md−1k=0dkm =m−d2

然后加到一起，不含d的项 O(1) 算，枚举d，反演一下，然后 O(nlogn) 就可以算出来了。

#include 
using namespace std;
#define N 510000
#define mod 998244353
#define ll long long
int n,m;
double x;
int mu[N],prime[N],ip[N],cnt,ans;
void liner_shuffle()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!ip[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            ip[i*prime[j]]=1;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
int S(int x)
{return (ll)x*(x+1)/2%mod;}
int qpow(int x,int y)
{
    int ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ll)ret*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod;y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%lf",&n,&m,&x);
    liner_shuffle();
    ans=((ll)S(n)*S(m)%mod-(ll)S(n)*m%mod-(ll)S(m)*n%mod)%mod;
    for(int i=1;i<=n&&i<=m;i++)
    {
        int t=(i+(ll)2*i*(ll)(x/i))%mod,sum=0;
        for(int j=i,k=1;j<=n&&j<=m;j+=i,k++)
            sum=(sum+(ll)mu[k]*(n/j)%mod*(m/j)%mod)%mod;
        ans=(ans+(ll)t*sum%mod)%mod;
    }
    ans=(ans+mod)%mod;
    ans=(ll)ans*qpow(2,mod-2)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}