浅谈卡尔曼滤波器

1795年，高斯为了测定行星轨道提出了最小二乘估计法。

1942年，维纳为了解决火力控制系统精度跟踪问题，提出了维纳滤波理论。

维纳滤波理论首次将数理统计理论与线性理论有机结合，形成了对随机信号最有估计新理论~~

但是频域设计法使其应用困难，人们开始寻求时域内直接设计最有滤波的方法。

1960年，卡尔曼发表论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》，卡尔曼滤波器就此诞生~

卡尔曼算法使用状态空间的概念，基于时域设计，算法是递推的，大大降低算法时间和空间复杂度，被广泛应用于各种信号估计。

五条核心公式如下：

如果希望了解卡尔曼滤波的证明，可以参考这一篇http://www.aticourses.com/kalman_filter.pdf

卡尔曼有好多种变形，每本书的符号系统还不一样，看起来证明的样子五花八门。这一篇应该是最简洁的，虽然有些小错，看仔细点就好了。

这里不谈证明，简单让大家理解一下卡尔曼滤波是如何工作的





因为卡尔曼如此简洁，如此使用，人们有对卡尔曼做了许多的拓展，大致可以按照一下的脉络来分类
0.首先你得到了t1到t5的观测值，运用卡尔曼算法，
如果你要对t3时刻的状态进行估计称为卡尔曼平滑，
对t5时刻状态进行估计称为卡尔曼滤波，
对t6时刻状态进行估计称为卡尔曼预测。
因为假设了噪声均值为0，所以平滑滤波和预测只要乘一项传递参数F就可以了。

1.一般我们考虑的是线性离散系统。而连续系统经过离散化处理，就可以套用离散系统的方式了。

2.有时候传递方程和观测方程是非线性的，我们可以使用扩展卡尔曼和无迹卡尔曼滤波器来处理。
EKF就是把非线性方程的一阶泰勒展开写出来，用把一阶导数算出来带入方程，然后就可以按照之前线性模型来处理了~

但是EKF只计算到一阶导数，有时候还涉及到二阶导数甚至三阶导数，或者是导数很难求的情况，这时候就用到了UKF的方法。

UKF处理非线性的方式是选几个有代表性的点（sigma-point），带入到非线传递/观测方程中去，将带入结果的均值和方差作为传递/观测结果的均值和方差。
3.K的计算中涉及计算很小的数字，而计算机算小数经常四舍五入，有个方法就是把公式中的K全部变成K的逆，这样计算出错的情况减少，就会优化结果。这个方法就叫卡尔曼信息滤波。在数学上和卡尔曼滤波是等价的。

同样因为计算机的四舍五入，公式五里面因为那个减号有时候会搞出负定矩阵来，然后滤波器就坏了……遇到这种情况可以加白噪声，或者用平方根滤波，UD分解之类的。

引用：

http://wenku.baidu.com/view/187eecec856a561252d36f5b.html
http://blog.csdn.net/lanbing510/article/details/8828109
自适应滤波器原理               ----Simon Haykin
Sigma-Point Kalman Filters for Probabilistic Inference in Dynamic State-Space Models----Rudolph van der Merwe