2020年大学生数学建模A题：炉温曲线

前言

比赛完第一天就开始着手写这篇文章，思维可能有点局限性，如果有更好的思路和想法可以评论出来，一起讨论学习。

完整所有的题目下载（无需积分）：2020数学建模赛题

题目整理：

同时已经对该题目给出如下的分析和整理

• 黄色代表：题目已给出的条件
• 紫色代表：需要注意考虑的点
• 蓝色代表：需要解决的问题

题目分析

作为工科生，尤其是专业就是学习这方面，一看题目就能快速理解回焊炉的整体工作流程，并着手开始思考分析题目的问题和其中涉及的难点。

关于热传递的三种基本方式：

1. 热传导（傅里叶热传导方程）
   

2. 热对流（牛顿冷却公式）
   

3. 热辐射
   

参考自：[SMT再流焊温度场的建模与仿真_黄丙元]

PCB板基本材料特性

参考自：[PCB板热特性分析与研究_邓志勇] 

问题一

思路一：

此时根据 [基于Ansys_Icepak的板级回流焊接建模与仿真_姚焕] 论文给出的假设：

此时假设研究对象为全热风回流焊炉，只考虑热对流和热辐射两种，忽略热传递的计算，也就是不考虑中间的5cm间隔之间的热传导。

关键点：根据附件和温区温度，反推求出每个温区的对流传热系数（hc）

1. 先使用附件中的温度时间变化曲线为条件，使用：各温区热能 = 各温区热对流 + 各温区热辐射
   

   列出公式反推出每个温区的传热系数（hc）

2. 此时各温区的hc已知，利用 Q = 各温区热对流 + 各温区热辐射 计算得出1-5小温区、6小温区、7小温区、8-9小温区的热量；

3. 将各温区能量对各温区的时间进行微分，求出当t->0时，热量的大小；
   

4. 此时根据第一时刻温度25℃，以t=0.5进行积分，算出0.5s吸收的热量，转换为温度；
   

5. 写一个递归函数，以第一时刻25℃为边界起始条件，不断进行递归，即可求出后面每隔0.5s的温度值；

6. 将所有对应的时间和温度值使用MATLAB放入一个二维矩阵，然后通过curve fitting拟合出来最终的方程式；

7. 根据将要求的对应温区的中点时间计算得出；
   

8. 将时间带入拟合出来的方程即可得到每个对应中点的温度值；
   

9. 将时间和拟合方程式用plot即可画出炉温曲线；

此时做出的曲线不出意外应该是直线那种，不过因为斜率不同，导致变化，但不平滑。

思路二：

即考虑每个小温区间的5cm间隔

1. 此时只需要在思路一的基础上使用热传导方程；
2. 因为能量总是由能量高的地方向能量低的方向流动；
3. 使用热传导方程算出下一个小温区向前一个小温区的热量即为5cm间隔的热量；
4. 把5cm这段时间内的热量根据前一个温区的末尾温度为起始边界条件，即可算出5cm间隔内每隔0.5s的温度值；

问题二

1. 根据第一问得出的各温区传热系数、题目的制程界限和题目中的温度，还有过炉速度的调节范围为65~100，列出相应的约束条件；
2. MIN过炉速度为目标函数，建立相应的单目标最优化数学模型，使用LINGO求得最优过炉速度；

问题三

思路一：

假设：

• 炉温曲线超过217℃到峰值温度所覆盖的面积：A

针对此问题，可以很明确知道这一问是多目标多优化的模型问题，我的想法如下：

1. 使用控制变量法来求解；
2. 同样使用第二问的一些约束条件为基准；
3. 先使用附录和题目一、二问的各温区温度求平均做为该题设定的初始化温度；
4. 控制温度先不变，然后使用二分法对回炉速度进行一个合理范围的划分和得出；
5. 关键点：此时以覆盖面积A MIN最小为目标函数，反推求出每个温区的设定范围；
6. 此时因为回炉速度、各区间温度都在很小的范围内，计算量大大减小；
7. 然后使用三重循环迭代，求出面积最小时的回炉速度、各温区的温度。

思路二：

无脑暴力破解法

此方法计算量大，消耗时间，并不推荐。

此方法简单，在回炉速度、各温区温度限定范围内，以覆盖面积A MIN最小为目标函数，一直跑的试，直到跑完后，比较得出相应最小面积下的的各温区温度和最佳锅炉速度。

问题四

此问题，想法不多，但可以分享下：

1. 假设出 t=开始高于217℃的瞬时的时间 和 t1=开始低于217℃的瞬时的时间；
2. 可以知道：温度上升时的导数和下降时的导数相等即为曲线对称；
3. 所以从两端t和t1向中间(t+t1)/2的时间走，进行求导比较；
4. 此时应该可以继续使用问题3的思路一进行求解了。

此问题，说是问题3的优化，也有那么点感觉，但又没什么想法，反正蛮难受的。

参考文献

1. 表面贴装工艺生产线上回流焊曲线的优化与控制_高金刚
2. SMT温度场的数学模型_黄丙元
3. SMT再流焊温度场的建模与仿真_黄丙元
4. PCB板热特性分析与研究_邓志勇
5. XX线路板表面贴装焊接工艺研究_张疏影
6. 基于Ansys_Icepak的板级回流焊接建模与仿真_姚焕
7. 牛顿冷却定律及其实际应用_郭文传
8. 基于加热机理分析的回流焊过程仿真建模与有限元分析_宋巍
9. 多层印刷电路板组件结构的热_力分析_吴许杰
10.印制电路制程过程中互连区域的热力学仿真研究_曾亮 

结束

多多少少写了一下午，大体提供一下我的想法和做题的思路，具体的代码论文也就不放了，菜鸡文章，同时后期有什么也会一直修改文章，希望大家多多评论思考呀！！！
如果有任何问题，欢迎留言纠正，秉着学习的态度，大家一起思考解决。☺