2020年中国大学生数学建模竞赛备赛（二）

1.2 线性规划在实际生活中的应用

投资收益和风险

模型概述及符号限定

模型的建立

（1）总体风险：$maxQiXi|i=1,2,...n$
（2）购买所附交易费是一个分段函数：$Si=PiXi,if:Xi>Ui;$ $Si=PiUi,if:Xi<=Ui$
（3）目标函数：净利润尽可能大，总体风险尽可能小。
目标函数：

约束条件：

（4）模型简化：（也是针对于数学规划常用的手段）
两条思路：一、化多目标为单目标规划；二、将多目标函数赋予相应的权重进行搜索。
针对于本题，上面两个思路可以衍生出三种模型：
1、固定风险水平，优化收益。在处理时，要给风险限定界限，这也是考虑到投资者承担风险的程度不一样。（其中$a$为风险率）

2、固定盈利水平，极小化风险。（在投资者希望总体盈利达到某一个水平上，可以设该水平线为k）


（3）投资者权衡两者的重要性，分别对风险和收益赋予权重$s(0<s<=1)$和$1-s$，$s$可以命名为投资偏好系数。

模型一的提出与求解

clc,clear
a=0;
hold on//注意，当需要对多次循环产生的结果画在一张图中时，要先将此命令置于循环之外。
while a<0.05
c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
b=a*ones(4,1);
Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
beq=1;
LB=zeros(5,1);
[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
Q=-Q;
plot(a,Q,'*k');
a=a+0.001;//a是任意给定的风险度，步长Δa=0.001进行循环搜索
end
xlabel('a');ylabel('Q');

参考文献

[1]司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.