数论 - GCD LCM - UVA 11388

数论 - GCD LCM - UVA 11388

题意：

$T组测试数据，$

$每组包括两个正整数，分别表示一个最大公约数G和最小公倍数L。$

$要求输出满足条件的a和b，使得gcd(a,b)=G，lcm(a,b)=L。$

$若无解，输出-1。$

$若有多组解，输出a最小的一组解。$

Sample Input

2
1 2
3 4

Sample Output

1 2
-1

数据范围:

$T\le 100，G和L不超过2^{31}$

Time limit： 1000 ms

---

分析：

$由题意，根据a和b的最大公约数和最小公倍数，反过来求a和b。$

$我们知道：$

$设a=P_1^{a_1}{P}_2^{a_2}...P_k^{a_k}，b=P_1^{b_1}{P}_2^{b_2}...P_k^{b_k}$

$则:$

$gcd(a,b)=P_1^{min(a_1,b_1)}{P}_2^{min(a_2,b_2)}...P_k^{min(a_k,b_k)}$

$lcm(a,b)=P_1^{max(a_1,b_1)}{P}_2^{max(a_2,b_2)}...P_k^{max(a_k,b_k)}$

$可知，对于任意两个整数数x,y，设它们的质因子P_i的指数分别为u_i和v_i，$

$只要满足数对(u_i,v_i)=(a_i,b_i)或(u_i,v_i)=(b_i,a_i)，就能够找到满足条件的一组解(x,y)$

上述讨论是在有解的情形下讨论的。下面简要说明无解情况:

$设G=P_1^{g_1}{P}_2^{g_2}...P_k^{g_k}，L=P_1^{l_1}{P}_2^{l_2}...P_k^{l_k}$

$当g_i>l_i时，可知，无法找到一组符合条件的x,y，使得min(u_i,l_i)=g_i，max(u_i,l_i)=l_i，$

$此时是无解情况。$

那么如何确定最小解？

$当给定的数据有解时，说明对于任意一组g_i,l_i，都有g_i\le l_i，$

$我们要输出a最小的解，a最小即最大公约数G，此时b也唯一确定，即最小公倍数。$

具体落实代码：

$①、对输入的G和L进行因数分解，用一个同一个数组存储质因子，用两个数组分别存储对应的指数。$

$②、若G和L中，存在某个质因子的指数g_i>l_i，则无解，否则输出G和L。$

$由于G,L\le 2^{31}，我们仅需预处理到\sqrt{2^{31}}的质数即可。$

$时间复杂度O(\sqrt{G})$

代码：

#include
#include
#include
#include
#include
#include

#define ll long long

using namespace std;

const int N=65536;

int primes[N+10], idx;
int divisors[32], s[3][32], cnt; 
bool st[N+10];

void get_prime(int n)
{
     
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
     
        if(!st[i]) primes[idx++]=i;
        for(int j=0;primes[j]*i<=n;j++)
        {
     
            st[primes[j]*i]=true;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
}

void get_divisors(int a,int b)
{
     
    int sqa=sqrt(a), sqb=sqrt(b);
    for(int i=0;primes[i]<=max(sqa,sqb);i++)
    {
     
        int p=primes[i];
        if(a%p==0||b%p==0)
        {
     
            divisors[cnt]=p;
            int k1=0, k2=0;
            while(a%p==0) 
            {
     
                k1++;
                a/=p;
            }
            while(b%p==0)
            {
     
                k2++;
                b/=p;
            }
            s[1][cnt]=k1;
            s[2][cnt++]=k2;
        }
    }
    if(a>1||b>1) 
    {
     
        if(a==b) divisors[cnt]=a, s[1][cnt]=s[2][cnt]=1, cnt++;
        else 
        {
     
            if(a>1) divisors[cnt]=a, s[1][cnt]=1, s[2][cnt++]=0;
            if(b>1) divisors[cnt]=b, s[1][cnt]=0, s[2][cnt++]=1;
        }
    }
}

int main()
{
     
    get_prime(N);
    
    int T;
    int a,b;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
     
        cnt=0;
        memset(divisors,0,sizeof divisors);
        memset(s,0,sizeof s);
        
        cin>>a>>b;
        get_divisors(a,b);

        bool flag=true;
        ll res1=a, res2=b;
        for(int i=0;i<cnt;i++)
            if(s[1][i]>s[2][i])
            {
     
                flag=false;
                break;
            }

        if(!flag) puts("-1");
        else printf("%lld %lld\n",res1,res2);
    }
    
    return 0;
}