【2017 BSUIR Semifinal G】Digital characteristic 题解

题目大意

  定义函数 $f(n)$ 表示对 $n$ 一直求数位和直至 $n$ 为个位数，即：
$$f(n)=\{\begin{array}{ll}n& n<10,\\ f(g(n))& \text{otherwise,}\end{array}$$

  其中 $g(n)$ 表示 $n$ 的数位和。
  现在有一个很大的 $n$，你要求 $f(n)$。
  这个 $n$ 是根据四个参数 $a,b,m,k$ 生成的，首先生成 $k$ 个数 $a,a+b,a+2b,\cdots ,a+(k-1)b$（都在 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$ 意义下），然后把它们从后往前拼起来，就是 $n$。比如，$a=42,b=42,m=2018,k=18$，会生成 $n=7567146726305885465044624203783362942522101681268442$。

  $0\le a,b\le 10^9,2\le m\le 10^9+7,1\le k\le 10^9$
  多测，$T\le 10^4$

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题解

  数论技巧什么的。。还是要时常复习啊。。

  首先这个 $f$ 是有通项公式的，当 $n>0$ 时 $f(n)=(n-1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9+1$，也即 f(n)=(n%9==0) ?9 :n%9。
  所以我们就是要求 $n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9$ 的值。（特判 $n=0$）
  注意到 $\forall x>0,10^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9=1$，因此对于 $n$ 来说，多个数拼起来 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9$ 等价于拆开来 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9$ 再求和，即 $n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9={\sum }_{i=0}^{k-1}((a+bi)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9$。

  注意到这个式子，是先让 $a+bi$ 模 $m$，再求和，模 $9$。这样子直接做就不好做，所以要把里面的 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$ 变形：
$$n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9=\sum _{i=0}^{k-1}((a+bi)-\lfloor \frac{a+bi}{m}\rfloor \cdot m)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9$$
  这样就变成类欧了。

代码

#include
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

typedef long long LL;

LL a,b,m,k;

LL f(LL a,LL b,LL c,LL n)
{
     
	if (!a) return (n+1)*(b/c)%9;
	if (a>=c || b>=c)
	{
     
		LL sqr=(n&1) ?(n+1)/2*n :n/2*(n+1) ;
		sqr%=9;
		return (f(a%c,b%c,c,n)+(a/c)*sqr+(n+1)*(b/c))%9;
	} else
	{
     
		LL m=(a*n+b)/c;
		return (m%9*n%9-f(c,c-b-1,a,m-1)+9)%9;
	}
}

int T;
int main()
{
     
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
     
		scanf("%lld %lld %lld %lld",&a,&b,&m,&k);
		a%=m, b%=m;
		if (a==0 && (k==1 || k>1 && b==0)) {
     puts("0"); continue;}
		
		int ans=((a*k%9+k*(k-1)/2%9*b%9)%9-m*f(b,a,m,k-1)%9+9)%9;
		
		printf("%d\n",(ans==0) ?9 :ans);
	}
}