【Petrozavodsk WC 2018d2: ITMO U 1 Contest I】Is It a p-drome? 题解

题目大意

  给定一个长度为 $n$ 的排列 $p_1\cdots p_n$，以及一个长度为 $m$ 的数组 $s[1..m]$。
  对于长度为 $n$ 的数组 $t$，如果满足 $\forall i\in [1,n],t_i=t_{p_i}$，则称 $t$ 是 p-drome。
  求 $s$ 每个长度为 $n$ 的子串是不是 p-drome。

  $1\le n\le m\le 5\times 10^5,1\le s_i\le 5\times 10^5$
  6s

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这真是个有趣的题目

题解

  $t_i=t_{p_i}$ 不好判断，用 $t_i\cdot y+t_{p_i}\cdot (-y)=0$ 来代替。

  于是我们弄一个 $a$ 数组，初始全 $0$，对于每个 $i\in [1,n]$，随机一个 $y_i$，给 $a_i$ 加上 $y_i$，给 $a_{p_i}$ 减去 $y_i$。
  那么如果 ${\sum }_{i=1}^n{t}_i{a}_i=0$，那就代表这个子串合法了。

  然后你发现这其实是个卷积。
  读入的 $s$ 数组反序，跟 $a$ 做 NTT，把所有结果为 $0$ 的位标出来就行了。

代码

// 来自队友

#include
#define rep(i,l,r) for (int i=l;i<=r;i++)
using namespace std;
const int N=1048576,K=19;
int n,m,c,a[N+10],b[N+10],A[N+10],B[N+10];
int P=998244353,G=3,g[K+10],ng[K+10],inv[N+10],inv2;
int Pow(int x,int y){
     
	int ans=1;
	while (y){
     
		if (y&1) ans=1ll*ans*x%P;
		x=1ll*x*x%P;
		y>>=1;
	}
	return ans;
}
void NTT(int a[],int n,int t){
     
	for (int i=1,j=0;i<n-1;i++){
     
		for (int s=n;j^=s>>=1,~j&s;);
		if (i<j) swap(a[i],a[j]);
	}
	for (int d=0;(1<<d)<n;d++){
     
		int m=1<<d,m2=m<<1,_w=t==1?g[d]:ng[d];
		for (int i=0;i<n;i+=m2) for (int w=1,j=0;j<m;j++){
     
			int &A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=1ll*w*A%P;
			A=B-t; if (A<0) A+=P;
			B=B+t; if (B>=P) B-=P;
			w=1ll*w*_w%P;
		}
	}
	if (t==-1) for (int i=0,j=inv[n];i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*j%P;
}
int main(){
     
	int i;
	for (g[K]=Pow(G,(P-1)/N),ng[K]=Pow(g[K],P-2),i=K-1;~i;i--){
     
		g[i]=1ll*g[i+1]*g[i+1]%P,ng[i]=1ll*ng[i+1]*ng[i+1]%P;
	}
	for (inv[0]=inv[1]=1,i=2;i<=N;i++) inv[i]=1ll*(P-inv[P%i])*(P/i)%P;inv2=inv[2];
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
	int p1=4999999,now1=1,p2=786433,now2=1,x;
	rep(i,0,n-1){
     
		now1=1ll*now1*p1%P;
		now2=1ll*now2*p2%P;
		scanf("%d",&x); x--;
		a[i]=(a[i]+now1)%P; a[x]=(a[x]+P-now1)%P;
		A[i]=(A[i]+now2)%P; A[x]=(A[x]+P-now2)%P;
	}
	rep(i,0,m-1) scanf("%d",&b[i]);
	reverse(b,b+m);
	NTT(a,N,1); NTT(b,N,1); NTT(A,N,1);
	for (int i=0;i<N;i++) {
     
		a[i]=1ll*a[i]*b[i]%P;
		A[i]=1ll*A[i]*b[i]%P;
	}
	NTT(a,N,-1); NTT(A,N,-1);
	for (int i=m-1;i>=n-1;i--) {
     
		if (a[i]==0&&A[i]==0) printf("1");
		else printf("0");
	}
	return 0;
}