[HAOI2015]按位或 min-max容斥+FWT

Description
刚开始你有一个数字$0$，每一秒钟你会随机选择一个$[0,2^n-1]$的数字，与你手上的数字进行或操作。选择数字i的概率是$p[i]$。保证$0<=p[i]<=1$，$\sum p[i]=1$问期望多少秒后，你手上的数字变成$2^n-1$。

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Sample Input
2
0.25 0.25 0.25 0.25

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Sample Output
2.6666666667

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关于$min-max$容斥的一点东西：
$min-max$容斥的模型：给出n个数出现的概率，求所有数出现一次的期望次数。
设一个元素的大小为这个元素出现的时间。
设$min(S)$为集合中最小的元素。
$max(S)$为集合中最大的元素。
设$P$为概率，$E$为期望次数。
可知$P(min(S))={\sum }_{i\in S}Pi$，
$E(min(S))=\frac{1}{P(min(S))}$。
对于模型，我们需要求解的实际上是$E(max(S))$。
那么就有一个式子：
$E(max(S))={\sum }_{T\subset S}E(min(T))\ast (-1{)}^{|T|+1}$

回到这道题，考虑求出$E(min(S))$。
那么只要与$S$有交集其实对$S$就是有贡献的。
那么这个东西实际上不是很好求。
把他反过来就相当于求补集的子集，这个可以FWT解决。

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#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

#define eps 1e-8
using namespace std;
typedef long long LL;
int _max(int x, int y) {
     return x > y ? x : y;}
int _min(int x, int y) {
     return x < y ? x : y;}
int read() {
     
	int s = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {
     if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return s * f;
}

int n, cnt[1 << 20];
double ans, P[1 << 20];

int main() {
     
	int n = read(); int N = 1 << n;
	for(int i = 0; i < N; i++) scanf("%lf", &P[i]), cnt[i] = cnt[i >> 1] + (i & 1);
	for(int i = 1; i < N; i <<= 1) {
     
		for(int j = 0; j < N; j += i << 1) {
     
			for(int k = 0; k < i; k++) {
     
				P[j + k + i] += P[j + k];
			}
		}
	} ans = 0;
	for(int i = 0; i < N; i++) if(1.0 - P[i ^ (N - 1)] > eps) 
	ans += (cnt[i] & 1 ? 1 : -1) / (1.0 - P[i ^ (N - 1)]);
	if(ans < eps) puts("INF"); else printf("%.8lf\n", ans);
	return 0;
}