【JZOJ1116】【BZOJ1010】玩具装箱TOY

description

8月P教授要去看奥运，但是他割舍不下自己的一大堆智力玩具。于是，他决定把所有玩具都运到北京去。P教授使用自己的物体维数压缩器ODZ(Object Dimension Zipper)来给玩具装箱。ODZ 可以将任意物品变成一维，再装到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过ODZ处理后一维长度是Ci。为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时，如果一个一维容器中有多个玩具，那么相信两件玩具之间要加入1个单位长度的填充物。

形式地说，如果将第i到第j件玩具放在一个容器中，那容器的长度将为：

x=j-i+sigma(Ck) //i<=k<=j

制作容器的费用与容器长度有关。根据P教授的研究，如果容器长度为x，其制作费用为(x-L)^2，其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制造出任意长度的容器（甚至超过L），但他希望费用最小。

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analysis

• 一年多没打斜率优化忘光了……复习一下

• 设$f[i]$表示到第$i$位的最小值，那么$O(n^2)$的$DP$方程很好写

$$f[i]=min(f[j]+(pre[i]-pre[j]+i-j-l-1{)}^2)$$

• 设$g[i]=pre[i]+i,m=l+1$，那么对于$k>j$且$k$比$j$优则有

$$f[k]+(g[i]-g[k]-c{)}^2\le f[j]+(g[i]-g[j]-c{)}^2$$

• 拆项移项得

$$f[k]-2g[i](g[k]+c)+(g[k]+c{)}^2\le f[j]-2g[i](g[j]+c)+(g[j]+c{)}^2$$

• 再移

$$f[k]-f[j]\le 2g[i](g[k]+c)-(g[k]+c{)}^2-2g[i](g[j]+c)+(g[j]+c{)}^2$$

$$f[k]-f[j]+(g[k]+c{)}^2-(g[j]+c{)}^2\le 2g[i](g[k]-g[j])$$

• 最后

$$\frac{f[k]-f[j]+(g[k]+c{)}^2-(g[j]+c{)}^2}{2(g[k]-g[j])}\le g[i]$$

• 然后按套路上单调队列斜率优化维护下凸壳就可以了

• 注意先删去较劣的队头后删去较劣的队尾

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include
#include
#include
#define MAXN 50005
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)
#define O3 __attribute__((optimize("-O3")))

using namespace std;

ll a[MAXN],f[MAXN],g[MAXN],pre[MAXN],que[MAXN];
ll n,m;

O3 inline ll read()
{
     
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){
     if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
O3 inline ll sqr(ll x)
{
     
	return x*x;
}
O3 inline double slope(ll x,ll y)
{
     
	return 1.0*(f[x]+sqr(g[x]+m)-f[y]-sqr(g[y]+m))/(2.0*(g[x]-g[y]));
}
O3 int main()
{
     
	//freopen("T1.in","r",stdin);
	n=read(),m=read()+1;
	fo(i,1,n)pre[i]=pre[i-1]+(a[i]=read()),g[i]=pre[i]+i;
	ll head=1,tail=1;f[0]=que[1]=0;
	fo(i,1,n)
	{
     
		while (head<tail && slope(que[head+1],que[head])<=g[i])++head;
		f[i]=f[que[head]]+sqr(g[i]-g[que[head]]-m);
		while (head<tail && slope(que[tail],que[tail-1])>=slope(i,que[tail]))--tail;
		que[++tail]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}