数据结构与算法——第八章（查找——顺序——折半——二叉——哈希）

一，顺序查找

1，顺序查找定义（优缺）

从表的一端开始，顺序扫描线性表，依次将扫描到的节点关键字和给定值k相	比较。		
顺序查找主要用于线性表中的查找，其中，线性表可有序可无序。

缺点：

顺序查找的缺点是，当n较大时，平均查找长度较大，效率低

优点：

优点是对数据元素的存储没有要求，顺序存储或链式存储皆可。

2，查找算法的平均长度计算

二，折半查找（二分查找）

1，折半查找定义（优缺）

优点：

优点是比较次bai数少，查找速度du快，平均性能好；

缺点：

缺点是要求待查表为有序表，且限于顺序存储结构，且插入删除困难。
because：
插入困难是因为折半查找法要求待查表为有序表，所以在插入的时候你就
不能随便插入了。你必须找到待插入的元素在表中的位置才可以插入，所
以插入的时候比较麻烦。

因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。

2， 折半查找平均长度计算

ASL= log2(n+1)-1

首先，折半查找可以借助于一个二叉树来描述。
为了简化讨论，则把这棵树近似看成满二叉树，设二叉树的高度为h(h>1)
则，根据二叉树的性质，它有最大节点数n=2^{
     h}-1，
则h=log2(n+1)。
那么二叉树的第j层节点数为：2^(j-1) # (2是底数),
当最后一层也就是2^(h-1)
假定每个元素的查找概率相等，则，
pi=1/n (pi为第i个节点的查找概率)
Ci=每一层的节点数乘以层数再相加=（1*2^0+2*2^1+3*2^2+……+j*2^(j-1)）
那么平均查找长度为ASL= 1/n*（1*2^0+2*2^1+3*2^2+……+j*2^(j-1)）
则经过化简计算，得平均查找长度为：(（n+1）/n ) *log2(n+1)-1 (其中对数中的2为底数：即log以2为底（n+1)的对数）
注 : 当n很大时 ，可近似为ASL= log2(n+1)-1

其中 1*2^0+2*2^1+3*2^2+……+j*2^(j-1)的求法如下：
设 S = 1*2^0 + 2*2^1+3*2^2 +……+ j*2^(j-1) ,
则 2S = 1*2^1+2*2^2 +……+ (j-1)*2^(j-1) + j*2^j
则 2S - S = -( 2^0 + 2^1 + 2 ^2 + …… + 2 ^(j-1)) + j *2^j
即 S = - (2^j-1)+j*2^j           （这里的j相当于h）
带入化简即可。

3，判定树的计算

（1），最大查找次数与最少查找次数

根据下图计算，计算步骤在下面
根据折半查找判定树可以推出最多查找次数为自己的深度
h=log2(n+1)——n代表节点数
最少查找次数为：h-1

简单快速计算方法：（就是这么简单）

假设给你n个节点求最多查找次数与最少查找次数
2^j< n <2^k
则最少查找次数为：j
  最多查找次数为：k

（2），判定树的构造推理

第一次访问
low=1，high=11，则mid=(low+high)/2=6（“/”代表除以2取整）
则6就为根节点
第二次访问
假设1：如果关键字比6大，则low=mid+1， high=11（不变）
则mid=(low+high)/2=9
假设1：如果关键字比6小，则high=mid-1， low=1（不变）
则mid=(low+high)/2=3
则第二层节点就是3和9（小的放在左边，大的放在右边）
第三次访问
有四个假设
假设一：key>9
mid=(low+high)/2=10
假设二：key<9
mid=(low+high)/2=7
假设三：key>3
mid=(low+high)/2=4
假设四：key<3
mid=(low+high)/2=1
则第三层节点就是：1,4，7,10（小的放在左边，大的放在右边）
以此类推

三，二叉排序树

1， 二叉排序树定义（优缺）

二叉排序数的（递归）定义：
1、若左子树非空，则左子树所有节点的值均小于它的根节点；
2、若右子树非空，则右子树所有节点的值均大于于它的根节
点；3、左右子树也分别为二叉排序树

优点：

数组的搜索比较方便，可以直接用下标，但删除或者插入某些元素就比较麻烦。
链表与之相反，删除和插入元素很快，但查找很慢。
二叉排序树就既有链表的好处，也有数组的好处。
在处理大批量的动态的数据是比较有用。

2，二叉树排序的平均长度

与折半查找计算方法类似

首先，折半查找可以借助于一个二叉树来描述。
为了简化讨论，则把这棵树近似看成满二叉树，设二叉树的高度为h(h>1)
则，根据二叉树的性质，它有最大节点数n=2^{
     h}-1，
则h=log2(n+1)。
那么二叉树的第j层节点数为：2^(j-1) # (2是底数),
当最后一层也就是2^(h-1)
假定每个元素的查找概率相等，则，
pi=1/n (pi为第i个节点的查找概率)
Ci=每一层的节点数乘以层数再相加=（1*2^0+2*2^1+3*2^2+……+j*2^(j-1)）
那么平均查找长度为ASL= 1/n*（1*2^0+2*2^1+3*2^2+……+j*2^(j-1)）
则经过化简计算，得平均查找长度为：(（n+1）/n ) *log2(n+1)-1 (其中对数中的2为底数：即log以2为底（n+1)的对数）
注 : 当n很大时 ，可近似为ASL= log2(n+1)-1

其中 1*2^0+2*2^1+3*2^2+……+j*2^(j-1)的求法如下：
设 S = 1*2^0 + 2*2^1+3*2^2 +……+ j*2^(j-1) ,
则 2S = 1*2^1+2*2^2 +……+ (j-1)*2^(j-1) + j*2^j
则 2S - S = -( 2^0 + 2^1 + 2 ^2 + …… + 2 ^(j-1)) + j *2^j
即 S = - (2^j-1)+j*2^j           （这里的j相当于h）
带入化简即可。

四，哈希表

1，哈希表的定义

简单理解：
关键字通过一个特殊的函数进行运算得到新的关键字，并存储
在数组中，这个数组就叫哈希表
官方理解：

 哈希表（Hash table，也叫散列表），是根据关键码值(Key value)而直接进行
 访问的数据结构。也就是说，它通过把关键码值映射到表中一个位置来访问记
 录，以加快查找的速度。这个映射函数叫做散列函数，存放记录的数组叫做散
 列表。

2，哈希表的构造方法

（1）、数字分析法

根据数据的某些数字（比如百位和十位数字）来映射到地址。

（2）、平方取中法

若关键字比较短，则可先对关键字值求平方，然后取运算结果的中间几位为哈希地址。

（3）、折叠法

将关键字值分割成位数相同的几个部分，然后取这几部分的叠加和（舍去进位）作为哈希地址。

（4）、除留余数法

H（key)=key%13

（5）、直接定址法

直接根据数据的值来映射到地址，比如对数字10、11、12、13…可以将其映射到一块连续的内存中。

（6）、随机数法

选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的哈希地址。即H（key）=random（key），其中random为随机函数。适用于关键字长度不等时。

五，常见查找的时间复杂度

查找	平均时间复杂度	查找条件	算法描述
顺序查找	O(n)	无序或有序队列	按顺序比较每个元素，直到找到关键字为止
二分查找（折半查找）	O(logn)	有序数组	查找过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜素过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。　如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。
二叉排序树查找	O(logn)	二叉排序树	在二叉查找树b中查找x的过程为： 1. 若b是空树，则搜索失败 2. 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功； 3. 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树 4. 查找右子树。
哈希表法（散列表）	O(1)	先创建哈希表（散列表）	根据键值方式(Key value)进行查找，通过散列函数，定位数据元素。
分块查找	O(logn)	无序或有序队列	将n个数据元素"按块有序"划分为m块（m ≤ n）。 每一块中的结点不必有序，但块与块之间必须"按块有序"；即第1块中任一元素的关键字都必须小于第2块中任一元素的关键字；而第2块中任一元素又都必须小于第3块中的任一元素，……。然后使用二分查找及顺序查找。

六， 常见排序时间复杂度

排序法	最差时间分析	平均时间复杂度	稳定度	空间复杂度
冒泡排序	O(n2)	O(n2)	稳定	O(1)
插入排序	O(n2)	O(n2)	稳定	O(1)
选择排序	O(n2)	O(n2)	稳定	O(1)
二叉树排序	O(n2)	O(n*log2n)	不一顶	O(n)
快速排序	O(n2)	O(n*log2n)	不稳定	O(log2n)~O(n)
堆排序	O(n*log2n)	O(n*log2n)	不稳定	O(1)
希尔排序	O	O	不稳定	O(1)