数据压缩作业 随机信号的参数建模法

一、AR模型
为随机信号建立参数模型是研究随机信号的一种基本方法，其含义是认为随机信号x(n)是由白噪w(n)激励某一确定系统的响应。只要白噪的参数确定了，研究随机信号就可以转化成研究产生随机信号的系统。

随机信号由本身的若干次过去值x(n-k)和当前的激励值w(n)线性组合产生：

该模型的系统函数是：

p表示系统阶数，系统函数只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用 AR§来表示。

二、AR模型的参数估计
（一）AR模型参数和自相关函数的关系
1.推导过程


2.举例说明
已知自回归信号模型 AR（3）为：


（二）Y-W方程的解法——L-D算法
1.L-D算法



2.MATLAB代码实现

xn = [0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790 1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488 1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763 1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177];

R_xx = zeros( 1, length(xn) );

for i = 0 : length(xn) - 1 
    j = 1; 
    while j + i <= length(xn)
        R_xx(i+1) = R_xx(i+1) + xn(j) * xn(j + i );
        j = j + 1;
    end
    R_xx(i+1) =  R_xx(i+1) / 32;
end

p = 4;
E = zeros(1, p); E(1) = R_xx(1);
a = zeros(p, 3); a(1 , 1) = 1;
aa=zeros(1,3);

for i = 1:3
    %计算a(i+1,i)
    a( i + 1, i ) = R_xx(i + 1);
    for k = 1:( i - 1 )
        a( i + 1, i ) = a( i + 1, i ) + a( i, k ) * R_xx( i + 1 - k );
    end
    a( i + 1, i ) = - a( i + 1, i ) / E(i);
    
    %计算a(i+1,k)
    for k = 1:(i - 1)
       a( i + 1, k ) = a( i, k ) + a( i + 1, i ) * a( i, i - k );
    end 
    
    %计算E
    E( i + 1 ) = ( 1 - a( i + 1, i ).^2 ) * E(i); 
end

for k=1:3
    aa(k)=a(4,k);
end

程序运行结果为：


（三）L-D算法的改进
1.Burg算法
为了克服L-D算法导致的误差，1968 年Burg提出了Burg算法，其基本思想是对观测的数据进行前向和后向预测，然后让两者的均方误差之和为最小作为估计的准则估计处反射系数，进而通过L-D算法的递推公式求出 AR 模型参数。Burg算法的优点是，求得的 AR模型是稳定的，较高的计算效率，但递推还是用的L-D算法，因此仍然存在明显的缺点。
Matlab 中有专门的函数实现Burg算法的AR模型参数估计：[a E]＝arburg(x，p)。
2.Marple算法
1980 年Marple在前人的基础上提出一种高效算法，Marple算法或者称不受约束的最小二乘法（LS），该算法的思想是，让每一个预测系数的确定直接与前向、后向预测的总的平方误差最小，这样预测系数就不能由低一阶的系数递推确定了，所以不能用L-D算法求解，实践表明该算法比L-D、Burg 算法优越。由于该算法是从整体上选择所有的模型参数达到总的均方误差最小，与自适应算法类似，不足是该算法不能保证 AR 模型的稳定性。
（四）AR模型阶数选择
AR 模型的阶数选择不同得到的模型不同，效果相差较大，因而如何选择阶数很重要。因此国内外学者在这方面都做了许多研究工作，其中基于均方误差最小的最终预测误差（FPE：final predidyion error）准则是确定AR模型阶次比较有效的准则。
最终预测误差（FPE：final predidyion error）准则定义：给定观测长度为N，从某个过程的一次观测数据中估计到了预测系数，然后用该预测系数构成的系统处理另一次观察数据，则有预测均方误差，该误差在某个阶数p时为最小，其表达式为：

上式中估计的方差随着阶数的增加而减小，而括号内的值随着p的增加而增加，因而能找到一最佳的popt，使得FPE最小。
除了用这种方法进行阶数的选择，还可以采用试验的方法，如果某一个p值满足预先规定的某些要求，则认为该p值是最优的。在短数据情况下，根据经验，AR模型的阶次选在N/3～N/2的范围内较好。