学Redis都需要知道的底层数据结构
前言
Redis肯定大家都已经耳熟能详了，主要用作缓存中间件，这篇博客主要介绍一下其底层的实现机制。在学习了数组和链表之后，线性表这边就只剩下一个跳跃表（SkipList）还没登场了。跳跃表正是大名鼎鼎的Redis底层实现的基础，因此学好跳跃表必能对Redis有着更加深入的理解。本篇博客先不讲代码实现，而是着重介绍跳跃表的思想和性能分析。
常规线性表结构的缺陷
我们之前学习过了数组和链表，这里我们来回顾一下，分析分析它们的性能。首先实际应用的场景是这样的：我们需要往表当中插入或者删除一个数据项。无论对于数组还是链表来说，都需要两步：1.找到指定位置，我们称为查询；2.插入或删除元素。
对于数组来讲，如果我们指定了插入的位置，那么至少说数组查询的时间复杂度为O(1)，但插入和删除都会导致后面元素的移动，时间复杂度为O(n)。对于链表来讲，虽然能够保证插入和删除时时间复杂度只有O(1)，但是在这之前的查询操作也是O(n)。
综合来看，无论是数组还是链表，其时间复杂度都为O(n)，那么还有没有办法进一步减小时间复杂度呢？上一次我们介绍了二分查找（戳这里如何写好二分查找？），提到了其有序的特点使得查找的时间复杂度降到了O(logn)，那如果我们结合二分查找和链表来做呢？那么首先一个问题是，要使得链表变得有序，每次插入平均都需要遍历n/2个元素，这样时间复杂度就上去了。因此，光靠简单的组合并不能有效减小时间复杂度，我们需要对原始的结构进行一些改动。
跳跃表结构
根据上面的分析，也就是说我们需要一种数据结构，能够做到插入、删除和查找任意值的时间复杂度都能低于O(n)。接下来介绍的跳跃表结构，就能很好的解决这样的问题。
首先，跳跃表是由链表拓展而来的，但是同时它存放的元素也是有序排列的。为了能够减少插入和删除的时间，使用多层索引查找的方式。在算法导论这本书中还提到说跳跃表算是一种平衡树结构，也确实在复杂度等方面和二叉树方面有着相似的性质。
具体是什么样子的呢？我们画个图来解释。
上面的示例图表示一个具有四层的跳跃表结构。从图中可以总结出一些性质：
- 跳跃表的最底层包含了所有元素，而每个结点中有一定几率出现在上层，我们称结点向上生长为晋升。
- 只有下层的每一层都有某个元素的结点，该元素结点才有可能继续晋升。
- 链表的第一个元素结点往往是每层都存在的。
- 整个链表每一层都是有序的，从小到大排列。
查找和构建
如何进行查找呢？首先这个跳跃表的头结点应该是指向的第一个元素结点的最高层，接着开始遍历最高层链表，如果访问的结点元素值小于查询值就继续遍历，如果访问结点元素值大于了查询值则下降到下一层链表中来查找，这时起始位置为刚刚访问结点的前一个结点。或者如果已经到了该层链表的尾部，那么下降到下一层的对应结点开始遍历。接着重复上面的过程，直到查找到最后的值；或者在最底层仍然没有查找到，说明该元素不存在。
那么如何构建这样一个跳跃表呢？也就是说，如何插入一个新的结点呢？首先，由于跳跃表是有序的，那么插入会先查询到不大于该结点的最后一个结点位置后准备插入，插入的过程其实和链表就是一样的。只不过跳跃表的每个结点需要事先确定晋升多少层。为了保证高效的查找性能，那么上层的结点就不能过多，同时理想状态下能够均匀分布开来。因此，可以采取类似投掷硬币的随机方式来决定是否晋升，这种晋升方式有1/2的概率成功。当结点每一次想再向上晋升时，都通过这种随机的方式判断，如果晋升成功，那么就决定是否再一次晋升，直到晋升失败，此时决定了该结点的最终层数。再将每一层结点和每一层链表连接起来就可以了。
从整个跳跃链表的构建和查询方式来看，每个结点层数每次是否晋升完全随机，那么从数学期望的角度来看，理想的情况是每一层相邻两个结点中有一个会向上晋升，那么在最高层除了最大和最小值就应该只有中间值了，而接下来的每一层会增加左右半部分的中间值，因此整个结构查询起来类似于二分查找。
如果要删除跳跃表中的一个结点，那么直接删除所有层中的该结点即可，也就是说在每一层链表中删除目标结点。具体的操作将专门在一篇博客中解析。
复杂度分析
看起来好像跳跃表似乎查找插入是要快一些，但是它可是有多层链表的啊，所以可能就会有人说，这是不是拿空间换时间的呢？看起来好像确实空间增加了不少，但是具体是怎样的我们还是要通过数学来证明。
空间复杂度分析
首先来看跳跃表的高度，也就是跳跃表的层数。对底层一个结点来说，它会向上增长的概率为1/2，则到第m层向上增长的概率为1/2m；n个元素，则在m层结点数目的期望为Em = n/2m；最后一层结点数Em = 1，m = log2n即为层数的期望。故其高度期待为 Eh = O(log n)。
再来看总的结点个数，也就是空间复杂度。对于每层的结点数期望：第一层n，第二层n/2，第三层n/22，…，直到 n/2logn=1。所以，总空间需求：
S = n + n/2 + n/22 + … + n/2logn < n(1 + 1/2 + 1/22 + … + 1/2∞) =2n
因此他的空间复杂度为 2n = O(n)。
时间复杂度分析
时间复杂度的分析是有点困难的，这里给出一些思路来：
查找
首先来看查找，上面提到了，跳跃表的查询类似于二分查找，因此通过二分查找的方式来分析：
二分查找每次排除掉一半的不适合值，所以对于n个元素的情况：
一次二分剩下：n/2；
两次二分剩下：n/22 = n/4；
m次二分剩下：n/2m；
在最坏情况下是在排除到只剩下最后一个值之后得到结果，即n/2m=1；
解得：m=log2 n。即时间复杂度为O(log n)。
除了上面的二分查找之外，还可以使用归纳法来分析：由于理想结构下同一层相邻两结点会有一个在上层，因此在一层搜索的结点数应该不会大于3，以最坏打算则每一层搜索结点数都为3。上面分析得到表的高度为 log2n，则总的搜索数为3 log2n，即O(log n)。
插入/删除
插入和删除时，分为查找和操作两部分。查找过程时间复杂度为O(log n)，而操作部分与表的高度成正比，因此也是O(log n)，最终即为O(log n)。
总结
这篇博客主要介绍了一下跳跃表的结构和思想，并且从数学角度做了复杂度分析，证明了其在空间复杂度不变的情况下大大提高了操作的效率。但是这样一个结构应该如何去实现它呢？之后有一篇博客将会专门介绍程序编写。