【线代】特征值、惯性指数、标准型、规范型的关系？等价、相似与合同？

目录

1. 两矩阵特征值相同

1.1 实对称矩阵A、B的特征值相同

2. 二次型的标准型

2.1 标准型唯一吗

2.2 标准型与秩

2.3 标准型与特征值

2.4 正交变换与特征值

2.5 两个二次型的标准型相同

3. 规范型

3.1 规范型唯一吗

3.2 规范型与标准型

3.3 规范型与合同（充要条件）

4. 等价、相似与合同

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1. 两矩阵特征值相同

能确定什么？不能确定什么？（不能确定，表示不可推出，没有证据推出。）

答：能确定行列式、迹相等；不能确定秩相等，不能确定A～B（相似），不能确定A合同于B。从以下几点解释。

① 因为 |A|=λ1 λ2…λn，tr(A)=λ1+λ2+…+λn，所以 |A|=|B|，tr(A)=tr(B)。

② 有特征值 λ，不表示A可以～Λ。

③ 若 A～Λ，可推出 r(A)=非0的 λ 个数。

④ 合同需要实对称矩阵（考研范围中），λ 相等并不能保证。

【反例】帮助理解：此例中，r(A)≠r(B)，且都不可相似对角化，且都不是实对称矩阵（不可合同）。

1.1 实对称矩阵A、B的特征值相同

实对称矩阵一定可以对角化，所以可得A、B相似于同一个对角阵，即 A～Λ～B。又因为实对称，所以逆＝转置，也合同。

《为什么实对称矩阵相似一定合同》：https://zhidao.baidu.com/question/467790592.html?qbl=relate_question_0

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2. 二次型的标准型

2.1 标准型唯一吗

不唯一。如果是配方法求得的，那么选取的可逆变换（配方的方式）不同，标准型结果也就不同。

相关链接：《化二次型为标准型的方法》：https://jingyan.baidu.com/article/3065b3b6bcbc86becff8a4d3.html

下面我们来谈不同形式的标准型，能确定什么？不能确定什么？

2.2 标准型与秩

标准型的项数是一定的，该项数就是非0系数，也就是正负惯性指数；就是二次型的秩，也即实对称矩阵A的秩。

注：再说一下，秩与特征值的关系（见1.的例子）。如果A可以相似对角化，那么秩就是非零特征值的个数。这个“如果”很重要！

2.3 标准型与特征值

配方法得的标准型不能确定特征值。

可逆线性变换得到的标准型，其对角线元素，不一定是特征值！虽然二次型可以通过可逆线性变换（配方法），变成这样的对角阵，但是标准型有很多个，也就是有很多这样的对角阵；特征值是确定的，所以这些可逆线性变换得到的标准型，都不可以求出特征值。

特征值的求法：因为这些标准型与特征值无关，所以不能根据它们写特征多项式，而应该回到最初的二次型（实对称矩阵A），用特征方程做。

《配方法化标准型后的平方项系数是特征值吗》：https://zhidao.baidu.com/question/140444370691754565.html?qbl=relate_question_0

2.4 正交变换与特征值

正交变换的标准型可以确定特征值。

诸多可逆线性变换中，只有正交变换得到的标准型，对角线元素，才是特征值。

回忆下相关做法，如何求使之变为标准型时的正交变换？

• 求A的特征值→求特征向量→正交化、单位化→写出正交矩阵Q

发现，正交变换就是在特征值的基础上做的，其结果得到的标准型，也就是特征值拼出的对角阵。

2.5 两个二次型的标准型相同

确定什么？可以确定惯性指数相同，也即二次型平方项的系数正、负个数相等，或是正特征值、负特征值的个数相同。

不能确定什么？不能确定特征值。

3. 规范型

3.1 规范型唯一吗

规范型是唯一的。是因为惯性定理，决定了对于同一个二次型的不同标准型，正、负惯性指数p、q是一定的，而规范型是系数只有1、-1、0的情况。此时说唯一，是不考虑二次型的变量顺序的，比如可以都规定写的顺序是1...-1...0。

3.2 规范型与标准型

同一个规范型可能有多个标准型。

同一个标准型，不可能对应多个规范型。因为标准型的惯性指数是确定的。

3.3 规范型与合同（充要条件）

两实对称矩阵合同，则它们的p、q对应相等（规范型相同）。

若两实对称矩阵的 p、q 相等，则合同。

即规范型对应的不同矩阵是合同的。

4. 等价、相似与合同

《矩阵的等价,合同,相似的联系与区别》：https://wenku.baidu.com/view/acdd8a1d6bd97f192279e9de.html

这篇文章写的很清楚，可详细阅读。

（1）相似、合同可以理解为特殊的等价。

相似必等价，等价未必相似。

合同必等价，等价未必合同。

（2）正交变换既是相似变换，也是合同变换。（使用正交变换得到的相似或合同时，相似与合同一致。）

经正交变换后，两矩阵相似，则必合同。

经正交变换后，两矩阵合同，则必相似。

（3）实对称矩阵A、B，特征根相同时，必相似且合同。

一般矩阵不适用。但实对称矩阵，一定可以相似对角化，所以特征值相同时，A ~ B，此时也合同（见4.(4)）。

（4）实对称矩阵A、B，若相似一定合同，若合同未必相似。

若相似，其特征值相同，所以p、q相同，必可以合同。

若合同，保证了正、负系数的个数相同，此时虽然可以相似对角化，但各自具体的特征值一般不同，所以推不出A、B相似。

【例】对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵 E，而 E 只能和 E 相似，显然diag(3,3,3)不相似于E（因为特征值不同）。

注：普通矩阵没有说相似一定合同，因为只在对称矩阵的时候，我们才讨论合同。

（5）不变量：等价时，秩不变；相似时，秩、特征值不变；合同时，秩、惯性指数不变。