CSP-J2019普及组初赛难点整理

1. 把 $8$ 个同样的球放在 $5$ 个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？( 18)
   提示：如果 $8$ 个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法。

【解析】$ｎ$个相同的球放入$ｍ$个相同的盒子（$n\ge m$），可以有空盒时的放法种数等于将$ｎ$分解为$ｍ$个、$(ｍ－1)$个、$(ｍ－2)$个、…、$2$个、$1$个数的和的所有种数之和。

8=8 8=1+7,8=2+6,8=3+5,8=4+4
8=1+1+6,8=1+2+5,8=1+3+4,8=2+2+4,8=2+3+3
8=1+1+1+5,8=1+1+2+4,8=1+1+3+3,8=1+2+2+3,8=2+2+2+2
8=1+1+1+1+4,8=1+1+1+2+3,8=1+1+2+2+2

2. 新学期开学了，小胖想减肥，健身教练给小胖制定了两个训练方案。方案一：每次连续跑 $3$ 公里可以消耗 $300$ 千卡（耗时半小时）；方案二：每次连续跑 $5$ 公里可以消耗 $600$ 千卡（耗时 $1$ 小时）。小胖每周周一到周四能抽出半小时跑步，周五到周日能抽出一小时跑步。另外，教练建议小胖每周最多跑 $21$ 公里，否则会损伤膝盖，每周最多通过跑步消耗多少千卡( )。

【解析】每周最多跑 $21$公里，所以优先安消耗卡路里最高的运动方案，即周五、六、日跑步一小时，一共可以跑$15$公里，消耗1800千卡；剩余6公里安排在周一到周四跑两天即可，消耗600千卡，一共消耗2400千卡。

3. 一副纸牌除掉大小王有 $52$ 张牌，四种花色，每种花色 $13$ 张。假设从这 $52$张牌中随机抽取 $13$ 张纸牌，则至少( )张牌的花色一致。

【解析】为了保证每种花色的牌最少，那么将$13$张扑克分成$4$份，每种花色各$3$张，这样还剩$1$张，根据鸽巢原理，必然有$1$张扑克和其它$3$张同花色，则至少( 4)张牌的花色一致。

4. 一些数字可以颠倒过来看，例如 $0$、$1$、$8$ 颠倒过来还是本身，$6$ 颠倒过来是 $9$，$9$ 颠倒过来看还是 $6$，其他数字颠倒过来都不构成数字。类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 $106$ 颠倒过来是 $901$。假设某个城市的车牌只由 $5$ 位数字组成，每一位都可以取 $0$ 到 $9$。请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌？( )

【解析】如果5位数的车牌倒过来恰好还是原来的数字，需要满足两个条件：

• 中间位的数字只能是$0$、$1$、$8$
• 左边两位数字可以是$0$、$1$、$8$ 、$6$、$9$任意一个，确定了左边的数字，右边的数字选择旋转后对应的数字即可。

答案：$C_3^1\times C_5^1\times C_5^1=75$

5. 假设一棵二叉树的后序遍历序列为 DGJHEBIFCA，中序遍历序列为 DBGEHJACIF，则其前序遍历序列为( )。

【解析】后序序列和中序序列可以惟一确定一棵二叉树。

该二叉树的前序序列为：ABDEGHJCFI

阅读程序

#include 
#include 
using namespace std;
char st[100];
int main() {
     
    scanf("%s", st);
    int n = strlen(st);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
     
        if (n % i == 0) {
     
            char c = st[i - 1];
            if (c >= 'a')
                st[i - 1] = c - 'a' + 'A';
        }
    }
    printf("%s", st);
    return 0;
}

• 若输入的字符串长度为 18，那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有( )个字符不同。

【解析】即求$1$~$18$中18的约数个数。
任何一个大于$1$的自然数$N$，如果$N$不为质数，那么$N$可以唯一分解成有限个质数的乘积： $N=P_1^{a_1}\times P_2^{a_2}\times P_3^{a_3}\times ...\times P_n^{a_n}$，这里$P_1<P_2<P_3<...<P_n$均为质数，其中指数$a_i$是正整数。这样的分解称为 $N$ 的标准分解式。 那么 $N$ 的约数个数 $=(a_1+1)\times (a_2+1)\times (a_3+1)\times ...\times (a_n+1)$
18标准分解式：$18=2^1\times 3^2$。
18的约数个数$=(1+1)\times (2+1)=6$

• 若输入的字符串长度为( )，那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有 $36$ 个字符不同。

【解析】$100000$的标准分解式$=2^5\times 5^5$。100000的约数个数$=(5+1)\times (5+1)=36$。

#include
using namespace std;
int n, m;
int a[100], b[100];

int main() {
     
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = b[i] = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
     
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if (a[x] < y && b[y] < x) {
      //第13行
            if (a[x] > 0)
                b[a[x]] = 0; //第15行
            if (b[y] > 0)
                a[b[y]] = 0;
            a[x] = y;
            b[y] = x;
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
     
        if (a[i] == 0)
            ++ans;
        if (b[i] == 0)
            ++ans; //第27行
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

• 假设输入的 $n$ 和 $m$ 都是正整数，$x$ 和 $y$ 都是在 $[1,n]$ 的范围内的整数。
  执行完第 $27$ 行的 ++ans 时，ans 一定是偶数。

【解析】由于$x$和$y$都是在 $[1,n]$ 范围内的整数，所以无论如何取值，ans最终都是偶数。但是题目中问的是执行完第 $27$ 行的 ++ans 时的情况，27行在循环内部，当m= 1 , x= 1, y = 2时，for循环第一次执行到27行时，ans = 1，为奇数。

• 假设输入的 $n$ 和 $m$ 都是正整数，$x$ 和 $y$ 都是在 $[1,n]$的范围内的整数。a[i] 和 b[i] 不可能同时大于 0。

【解析】当m= 1 , x= 1, y = 1时，a[1] 和 b[1] 都为1，同时大于 0。

• 假设输入的 $n$ 和 $m$ 都是正整数，$x$ 和 $y$ 都是在 $[1,n]$的范围内的整数。若程序执行到第 $13$行时，$x$ 总是小于 $y$，那么第 $15$ 行不会被执行。

【解析】当m= 2，第一次循环x= 1, y = 2，此时a[1] = 2, b[2] = 1；第二次循环 x = 1, y = 3时, a[1] < 3 && b[3] < 1，a[1] > 0，第15行被执行。

• 若 $m$ 个 $x$ 两两不同，且 $m$ 个 $y$ 两两不同，则输出的值为（ ）。

【解析】若$m$ 个 $x$ 两两不同，且 $m$ 个 $y$，其值可以是x = 1, y = 1，x = 2, y = 2，…，x = m, y = m，输入结束后a[1] = 1, b[1] = 1, a[2] = 2, b[2] = 2, ... , a[m] = m, b[m] = m，数组a[]和b[]中各有m个非零的数，此时ans = 2n - 2m。

• 若 $m$ 个 $x$ 两两不同，且 $m$ 个 $y$ 都相等，则输出的值为（ ）。

【解析】若 $m$ 个 $x$ 两两不同，且 $m$ 个 $y$ 都相等，其值可以是x = 1, y = 1，x = 2, y = 1，…，x = m, y = 1，输入结束后a[1] = 0, b[1] = m, a[2] = 0, b[2] = 0, ... , a[m] = 1, b[m] = 0，除了a[m] = 1和b[1] = m，数组其它值都为0，一共有2个非零的数，此时ans = 2n - 2。

#include 
using namespace std;
const int maxn = 10000;
int n;
int a[maxn];
int b[maxn];
int f(int l, int r, int depth) {
     
    if (l > r)
        return 0;
    int min = maxn, mink;
    for (int i = l; i <= r; ++i) {
     
        if (min > a[i]) {
     
            min = a[i];
            mink = i;
        }
    }
    int lres = f(l, mink - 1, depth + 1);
    int rres = f(mink + 1, r, depth + 1);
    return lres + rres + depth * b[mink];
}
int main() {
     
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> b[i];
    cout << f(0, n - 1, 1) << endl;
    return 0;
}

• 如果 $b$ 数组全为 $0$ 则输出为 $0$。√

【解析】f()中返回lres + rres + depth * b[mink]，如果b[]全为0，结果一定为0。

• 当 $n=100$ 时，最坏情况下，与第 $12$ 行的比较运算执行的次数最接近的是：( )

【解析】最坏情况下，即递归树深度最大。例如数组a[]中元素是有序的，递归到下一层只减少一个元素，此时比较的次数为$100+99+...+1=5050$ 。所以最坏情况下，比较运算执行的次数最接近的是6000。

• 当 $n=100$ 时，最好情况下，与第 $12$ 行的比较运算执行的次数最接近的是：( )

【解析】最好情况下，递归调用的深度应尽可能的小，每次二分时左右区间的长度相同。此时，递归树应是一棵完全二叉树，且高度为$\lfloor lo{g}_2^{100}\rfloor +1=7$。
比较次数大约为$100+50\times 2+25\times 4+12\times 8+6\times 16+3\times 32+1\times 37\approx$ 600

• 当 $n=10$ 时，若 $b$ 数组满足，对于任意 $0\le i<n$，都有 b[i] = i + 1，那么输出最大为( )。

【解析】已知b[0] = 1, b[1] = 2, ..., b[9] = 10，要输出最大值，即depth * b[mink]的和最大，那么depth的值应该尽可能的大。与上道题类似，数组a[]中元素是有序的，才能保证归深度最大，最大值$=1\times 1+2\times 2+3\times 3+...+10\times 10=385$。

• 当 $n=100$ 时，若 $b$ 数组满足，对于任意 $0\le i<n$，都有 b[i] = 1，那么输出最小为( )。

【解析】已知b[i] = 1，要输出最小值，即depth * b[mink]的和最小，那么depth的值应该尽可能的小，此时递归树应是一棵完全二叉树，且高度为$\lfloor lo{g}_2^{100}\rfloor +1=7$。
如果是$7$层的满二叉树总结点数应该是$2^7-1=127$，现在少了$27$个，那么第$7$层一共有$2^{7-1}-27=37$个结点。
最终结果$=37\times 7+32\times 6+16\times 5+8\times 4+4\times 3+2\times 2+1\times 1=$580

完善程序

1. （矩阵变换）有一个奇幻的矩阵，在不停的变幻，其变幻方式为：数字 $0$ 变成矩阵$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ ，数字 $1$ 变成矩阵$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ 。最初该矩阵只有一个元素 $0$，变幻 $n$ 次后，矩阵会变成什么样？
   例如，矩阵最初为：$[0]$，矩阵变幻一次后：$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ ；矩阵变幻 $2$ 次后：$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$ 。
   输入一行一个不超过 $10$ 的正整数 nn。输出变幻 $n$次后的矩阵。试补全程序。
   提示：<< 表示二进制左移运算符，例如 $(11{)}_2<<2=(1100{)}_2$。
   而 ^ 表示二进制异或运算符，它将两个运算的数中的每个对应的二进制位一一进行比较，若两个二进制位相同，则运算结果的对应二进制位为 0，反之为 1。

#include 
using namespace std;
int n;
const int max_size = 1 << 10;

int res[max_size][max_size];

void recursive(int x, int y, int n, int t) {
     
    if (n == 0) {
     
        res[x][y] = ①;
        return;
    }
    int step = 1 << (n - 1);
    recursive(②, n - 1, t);
    recursive(x, y + step, n - 1, t);
    recursive(x + step, y, n - 1, t);
    recursive(③, n - 1, !t);
}

int main() {
     
    scanf("%d", &n);
    recursive(0, 0, ④);
    int size = ⑤;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
     
        for (int j = 0; j < size; j++)
            printf("%d", res[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

【解析】分治思想，将以$(x,y)$开头的矩阵变成4部分，分别进行递归处理。函数recursive(int x, int y, int n, int t)，x、y表示矩阵的起点，n表示要变换的次数，t表示要填入的0、1值。step表示变换后矩阵对应元素距离。变换1次后，矩阵变为$2\times 2$，对应元素的的距离为1；变化2次后，矩阵变为$4\times 4$，对应元素的距离为2…。

空①，递归结束条件，当n == 0时，此时：res[x][y] = t。
空②，递归处理左上角的矩阵，其左上角的坐标就是：x,y
空③，递归处理右下角的矩阵，其左上角的坐标为：x+step,y+step
空④，初始情况：n, 0
空⑤：经过n次变换后，矩阵的大小为$2^n\times 2^n$，size为矩阵的行列个数，所以次空应为1<。

2. （计数排序）计数排序是一个广泛使用的排序方法。下面的程序使用双关键字计数排序，对 $n$ 对 $10000$ 以内的整数，从小到大排序。
   例如有三对整数（3，4）、（2，4）、（3，3），那么排序之后应该是（2，4）、（3，3）、（3，4）。
   输入第一行为 $n$，接下来 $n$ 行，第 $i$ 行有两个数 $a[i]$ 和 $b[i]$，分别表示第 $i$ 对整数的第一关键字和第二关键字。
   数据范围 $1\le n\le 10^7,1\le a[i],b[i]\le 10^4$ 。
   提示：应先对第二关键字排序，再对第一关键字排序。数组 ord[] 存储第二关键字排序的结果，数组 res[] 存储双关键字排序的结果。试补全程序。

#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 10000000;
const int maxs = 10000;

int n;
unsigned a[maxn], b[maxn],res[maxn], ord[maxn];
unsigned cnt[maxs + 1];
int main() {
     
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        ①; // 利用 cnt 数组统计数量
    for (int i = 0; i < maxs; ++i)
        cnt[i + 1] += cnt[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        ②; // 记录初步排序结果
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        ③; // 利用 cnt 数组统计数量
    for (int i = 0; i < maxs; ++i)
        cnt[i + 1] += cnt[i];
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i)
        ④ // 记录最终排序结果
    for (int i = 0; i < n; i++)
        printf("%d %d", ⑤);

    return 0;
}

【解析】计数排序，通过统计每个待排序元素的出现次数，实现排序。本题中，cnt[]数组分别统计了两个关键字数组中每个元素的出现次数，同时又进一步处理了在区间$[0,10000)$中，前i个数中小于等于i的关键字个数，可以计算每个关键字的排名。
数组 ord[] 和数组 res[] 都是以排名为下标，记录关键字在数组中的位置。数组 ord[] 存储第二关键字排序的结果，ord[i] = j表示排名为i的第二个关键字在数组b[j]中。数组 res[] 存储双关键字排序的结果，res[i] = j表示最终排名为i的关键字在数组a[j]、b[j]中。

空①，题目中提示先对第二个关键字排序，所以次空应填：cnt[b[i]]++，记录所有第二个关键字的出现次数。
空②，记录初步排序结果。通过上面代码cnt[i + 1] += cnt[i];，cnt[i]存储了小于等于i的第二关键字的个数，那么cnt[b[i]]即表示小于等于关键字b[i]的关键字个数，即b[i]的排名。题目中提示ord[]存储第二关键字排序的结果，此处应将处理结果保存到数组ord[]中，即ord[--cnt[b[i]]] = i。--cnt[b[i]保证了排名从0~n-1，同时，b[i]的出现次数减少一次。
空③，利用 cnt 数组统计第一个关键字的数量，所以次空应填：cnt[a[i]]++。
空④，通过上面代码cnt[i + 1] += cnt[i];，cnt[i]存储了小于等于i的第一关键字的个数，cnt[a[i]]即表示小于等于关键字a[i]的关键字个数，即a[i]的排名。cnt[a[ord[i]]]表示排名为i的第二关键字在数组位置ord[i]，其对应的双关键字的排名为cnt[a[ord[i]]]，它所在数组的位置为ord[i]。所以此空应填：res[--cnt[a[ord[i]]]] = ord[i]。
空⑤，数组 res[] 存储双关键字排序的结果，所以次空应填：a[res[i]], b[res[i]]。