1579： 【例 5】皇宫看守(最小支配集——贪心求解/树形DP)

【题目描述】
太平王世子事件后,陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。
皇宫以午门为起点,直到后宫嫔妃们的寝宫,呈一棵树的形状,某些宫殿间可以互相望见。大内保卫森严,三步一岗,五步一哨,每个宫殿都要有人全天候看守,在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。
可是陆小凤手上的经费不足,无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。
帮助陆小凤布置侍卫,在看守全部宫殿的前提下,使得花费的经费最少。

【输入】
输入中数据描述一棵树,描述如下:第一行n,表示树中结点的数目。
第二行至第n+1行,每行描述每个宫殿结点信息,依次为:该宫殿结点标号i0 对于一个n个结点的树,结点标号在1到n之间,且标号不重复。
【输出】
输出最少的经费

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最小支配集定义：在一个图G 中，我们选取尽可能少的 点形成一个点集合$V^{\prime }$, 使在图G中的点要么在V’ 总要么与 $V^{\prime }$中的点直接相连。

思路一——贪心求解

1. 这一题明显是让求最小支配集的，
2. 用贪心求解的话，首先预处理从根节点出发 dfs 一遍，按 dfs 访问到每个节点时候的顺序给每个节点编号，并统计上每个节点的父节点是那个节点，
3. 之后按编号从到小的顺序，遍历每一个节点，我们用 s [i]==0 表示 i 节点没有被覆盖 ，
4. 如果当前节点 s [v] == 1 ， continue；
5. 如果当前节点 s [v] == 0, 并且 v 的父节点 u 也没有在我们的支配集中，那么我们就把 u 添加到支配集中，并且标记 u 的父节点（设为 x）s [x]=1,
6. 之后继续循环 3 步骤，

#include 

using namespace std;
const int maxn = 1000;
int pre[maxn];//存储父节点
bool visit[maxn];//DFS标记数组
int newpos[maxn];//遍历序列
int now;
int n, m;

int head[maxn];//链式前向星
struct Node {
     int to; int next;};
Node edge[maxn];

void DFS(int x) {
     
    newpos[now ++] = x;//记录遍历序列
    for(int k = head[x]; k != -1; k = edge[k].next) {
     
        if(!visit[ edge[k].to ]) {
     
            visit[ edge[k].to ] = true;
            pre[edge[k].to] = x;//记录父节点
            DFS(edge[k].to);
        }
    }
}

int MDS() {
     
    bool s[maxn] = {
     0};
    bool set[maxn] = {
     0};
    int ans = 0;
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--) {
     //逆序进行贪心
        int t = newpos[i];
        if(!s[t]) {
      //如果当前点没被覆盖
            if(! set[ pre[t] ]) {
     //当前点的父节点不属于支配集
                set[ pre[t] ] = true;//当前点的父节点加入支配集
                ans ++;  //支配集节点个数加 1
            }
            s[t] = true; //标记当前点已被覆盖
            s[ pre[t] ] = true;// 标记当前点的父节点被覆盖
            s[ pre[ pre[t] ] ] = true;//标记当前点的父节点的父节点被覆盖
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
     
    /* read Graph message*/ //建图
    memset(visit, false, sizeof(visit));//初始化
    now = 0;
    visit[1] = true;
    pre[1] = 1;
    DFS(1);//从根节点开始寻摘遍历序列
    MDS();
    return 0;
}

---

思路二——树形DP

1. 定义：dp
   1. dp [x][0] 表示当前节点 x 由父节点来看守
   2. dp [x][1] 表示当前节点 x 由子节点来看守
   3. dp [x][2] 表示我们在当前节 x 点放置一个守卫来看守，
2. 状态转移方程

//如果当前节点 被父节点来看守的话 那么 在u这个节点 无论是否有收尾都行，所以dp[u][0] 从 dp[v][1]、 dp[v][2] 两者小的那个状态转移
dp[u][0] += min(dp[v][1], dp[v][2]);

//如果当前节点 u这个点，我们自己放置一个守卫来看守， 那么可以从dp[v][0]、dp[v][1]、 dp[v][2] 中之最小的那个状态进行转移
dp[u][2] += Min(dp[v][0], dp[v][1], dp[v][2]);

//sum 的值为所有子节点vi 的min(dp[vi][1], dp[vi][2])的之和
sum += min(dp[v][1], dp[v][2]);  

//如果u由子节点为v来看守，由于u有多个子节点v1、v2...vm，我们可以依次指定让子节点v来看守，其它节子点（设为vi 并且 vi != x）是否有看守都无所谓(因此从这些子节点的转移的状态是：min(dp[vi][1], dp[vii][2])，因为我们已经指定了当前v节点必须来看守u，那从v节点进行的状态转移必须是：dp[v][2], 
dp[u][1] = min(dp[u][1], sum - min(dp[v][1], dp[v][2]) + dp[v][2]);

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
/* #include  */
#include 
#include 
void fre() {
      system("clear"), freopen("A.txt", "r", stdin); freopen("Ans.txt","w",stdout); }
void Fre() {
      system("clear"), freopen("A.txt", "r", stdin);}
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
#define Pi acos(-1)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define Pir pair
#define m_p make_pair
#define INF 0x3f3f3f3f
#define esp 1e-7
#define for_(i, s, e) for(int i = (ll)(s); i <= (ll)(e); i ++)
#define rep_(i, e, s) for(int i = (ll)(e); i >= (ll)(s); i --)
#define sc scanf
#define pr printf
#define sd(a) scanf("%d", &a)
#define ss(a) scanf("%s", a)
#define size() size() * 1LL
#define mod (ll)(10007)
#define Min(a, b, c) min(a, min(b, c))
#define Max(a, b, c) max(a, max(b, c))
using namespace std;

const int mxn = 2e3;
vector<int> e[mxn];
int w[mxn];
int dp[mxn][3];

void dfs(int u, int p)
{
     
    dp[u][2] = w[u];
    int sum = 0;
    for_(i, 0, e[u].size() - 1)
    {
     
        int v = e[u][i];
        if(v == p) continue;

        dfs(v, u);

        dp[u][0] += min(dp[v][1], dp[v][2]);
        dp[u][2] += Min(dp[v][0], dp[v][1], dp[v][2]);
        sum += min(dp[v][1], dp[v][2]);
    }

    dp[u][1] = INF;
    for_(i, 0, e[u].size() - 1)
    {
     
        int v = e[u][i];
        if(v == p) continue;
        dp[u][1] = min(dp[u][1], sum - min(dp[v][1], dp[v][2]) + dp[v][2]);
    }
}



int main()
{
     
    /* fre(); */
    int n; sd(n);
    int u, x, t, v;
    for_(i, 1, n)
    {
     
        sc("%d %d %d", &u, &x, &t);
        w[u] = x;
        for_(j, 1, t)
        {
     
            sd(v);
            e[u].pb(v);
            e[v].pb(u);
        }
    }

    dfs(1, 0);
    pr("%d\n", min(dp[1][1], dp[1][2]));

    return  0;
}