概率中的贝叶斯定理

贝叶斯定理在学概率论的时候学过，不过学完这么久很多人自然就忘了，我也不例外，也忘了。因为我知道今天的课程和贝叶斯定理有关，所以昨天我自己就百度了一下，还好，不是很难理解，又捡回来了。

下面我尝试用我理解的方法简单说说这个定理背后的含义，以及应用它来解答一下书中那个得病率从95%到2%的来龙去脉。

1、图解贝叶斯定理

记得在我读书的时候，我特别喜欢用图来理解抽象的概率，就是下面这种图。图中有两个相交的圆（还可以有第三个），外面有个矩形围住。现在想像一下我把这图挂上墙，然后随机地朝它扔飞标，假设飞标只能落在矩形内部，落点是随机的。

下面定义一下事件A、B、AB、A│B、B│A。

A事件：飞标落在左边的圆内（包括相交部分）；

B事件：飞标落在右边的圆内（包括相交部分）；

AB事件：A事件发生且B事件发生（飞标落在两圆相交的区域内）；

A│B事件：B事件发生的条件下A发生；

B│A事件：A事件发生的条件下B发生；

在这些事件的外面加上P()表示事件发生的概率，如P(A)、P(AB)、P(A│B)。由于矩形内部是所有可能发生事件的全部，概率就可以用面积比来表示，比如P(A)=左边圆面积/矩形面积。不妨让矩形的面积等于1，于是各事件的概率就都可以直接用面积来表示了。

P(A)=左边圆的面积，P(B)=右边圆的面积，P(AB)=两圆相交区域面积，以上三个概率都不理解。

下面贝叶斯定理的主角条件概率要出现了，P(A│B)为B发生的前提下A发生的概率，称为条件概率（中间有一竖，右边是条件）。既然B作为条件，那么B必须要发生，否则前提都不存在，就没有讨论的意义，所以右边的圆现在可以作为事件的全部了，A│B这个事件发生的概率就可以用“两圆相交区域面积/右边圆的面积”来表示了。于是有

P(A│B)=两圆相交区域面积/右边圆的面积=P(AB)/P(B)，因为上面说了概率可以用面积来表示。同样的道理，那可以得到P(B│A)=P(AB)/P(A)。

于是P(AB)=P(B)×P(A│B)=P(A)×P(B│A)，这个关系式可以直接理解：两个事件同时发生的概率等同于将其中一个事件作为条件的情况下，条件事件发生的概率乘以条件事件发生前提下另一事件发生的概率。

贝叶斯定理，就是上面这条连续两个等号的式子的变形：

2、应用案例

还是用回蔡叔的例子：如果患上一种严重疾病的概率是1/1000，也就是1000个人里有一个会得这种病，而检测这种病的仪器的出错率是5%，也就是95%是准确的，某公司组织1000名员工去检测，其中第一个员工就显示呈阳性，请问他的得病概率是多大？我们都知道答案是2%，这是如何用贝叶斯定理得出来的呢？

解答如下：

A事件：得病，P(A)=1/1000；

B事件：检测出有病，P(B)=1/1000×95%+999/1000*5%=5.09%（检测出有病包括真有病检测准确和没有病检测出错两种情况，由于得病概率很小，所以基本上等于仪器出错概率，蔡叔也是直接用5%）；

事件B│A（得病前提下检测出有病）的概率P(B│A)=95%，其实就是仪器正确的概率。

求事件A│B的（检测出有病前提下确实得病）概率P(A│B)。

用贝叶斯定理表达式

P(A│B)= P(A)×P(B│A)/P(B) =1/1000×95%/5.09%=1.87%，对，就是约等于你我都知道的2%。