【Demllie航天】重力转弯与闭环控制

前言

一个绕轨飞行的航天器，降落期间是垂直于地表的，那么那这段区间内，航天器是怎么做到的呢？在旋转航天的角度为垂直期间，火箭喷口方向朝哪？朝向径向向外吗？

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只需要喷一会儿

一开始降低轨道，需要火箭喷口朝速度方向，降低轨道为抛物线后，朝速度方向开火箭，由于重力转弯的作用，在航天器变为垂直，并不需要朝横向或者径向喷来浪费燃料。甚至只需要开一次节流阀就能垂直了！

下面解释重力转弯是什么。

降低轨道了，轨道变成抛物线，这时候火箭喷口朝速度方向，打开节流阀。

重力加速度设为g,航天器速度为v，火箭输出的推重比为u，速度方向和重力方向夹角为$\psi$，转弯期间推力方向和速度方向严格相反！
受力分析：
对于航天器质心
速度方向上
$$\dot{v}=-gu+gcos\psi (1)$$
因为分运动是个圆，所以有旋转加速度$a_n=v\omega =-gsin\psi$
$$v\dot{\psi }=-gsin\psi (2)$$

• 只要$u$大于零，随着时间的推移$\psi$接近于零，那么航天器的姿态自然变为垂直！ 这就是重力转弯的基本原理！

闭环控制

但是，仔细想想一般还与高度h和速度大小v有关，高度太低，速度太高……
所以，在下降时还需要调整推重比$u$，从而构成闭环重力转弯制导。

通常控制量$u$的计算还需要一条跟踪轨迹，可以是

1. 高度-速度曲线
2. 截距-速度曲线
3. 时间-高度曲线

等。

时间-高度曲线

设
$v_f$为终端速度(不是最后垂直在着陆点上的速度)，是下一时刻的速度。
$$\begin{gathered} x_1=v-v_f \\ {x}_2=\psi \\ {x}_3=h \end{gathered}$$
则可以建立模型
$$\left[\begin{array}{c}\dot{x_1}\\ \dot{x_2}\\ \dot{x_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}gcos{x}_2-gu\\ -\frac{gsin{x}_2}{x_1+v_f}\\ -x_{1}cos{x}_2\end{array}\right]$$
   \;
第一个公式是速度方向上的合力的加速度
$$\dot{x_1}=\frac{d(v-v_f)}{dt}=gcos\psi -gu$$
第二个公式是分运动的旋转加速度公式推导的角速度
$$\frac{d\psi }{dt}=-\frac{gsin\psi }{v}$$
第三个公式是垂直方向上的速度增益
$$\frac{dh}{dt}=-(v-v_f)cos\psi$$

   \;
高度方程为
$$y=x_3$$
求二阶导数为
$$\ddot{y}=-g\left(\begin{array}{c}1-\frac{v_{f}si{n}^2{x}_2}{x_1+v_f}\end{array}\right)+gucos{x}_2$$

如果，控制输入设置为下面的形式
$$u=\frac{1}{gcos{x}_2}\left\{g\left[\begin{array}{c}1-\frac{v_{f}si{n}^2{x}_2}{x_1+v_f}+\ddot{h_d}-c_2(\dot{y}-\dot{h_d})-c_1(y-h_d)\end{array}\right]\right\}$$
其中$c_1,c_2$是常数，那么输出方程可以化为
$$\ddot{y}=\ddot{h_d}-c_2(\dot{y}-\dot{h_d})-c_1(y-h_d)$$
通过旋转$c_1,c_2$可以使得上式稳定！!!

上述控制是连续跟踪的，所以一般来说$u$也是连续的，这要求发动机能够变推力！

结论

重力转弯闭环制导律本身是没有考虑推进剂消耗的，但是可以通过设计跟踪的轨迹来近似保住最优性。以重力转弯过程推进剂消耗最少为优化目标，通过最优控制理论分析表明，最优的重力转弯制导律是一种开关bang-bang控制，只需要控制发动机开关，不需要条件推力大小，而且开关次数最多进行一次！！！

这就意味着，印度的月船二号是虽然是没有变推力，利用多个发动机的开关来着陆，这种方案其实是可行的。只要重力转弯制导达到最优，发动机开一次就能垂直过来，然后只需要用PID降落就行。

重力转弯方程中，没有落点位置，这决定了这种制导律只能应用在对落点位置没有要求的任务中，可以说是很局限了！

来自《航天器动力学与控制》