近世代数--整环的商域--整环D扩充为域Q)

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

整环可以扩充成域

我们知道

• $Z=\{\dots -3,-2,-1,0,1,2,3\dots \}$，$Z$是整数环
• $Q=\{\frac{n}{m}|m,n\in Z,m\ne 0\}$，$Q$是有理数域
• $Z$是$Q$的子环

整数环$Z$扩充为一个更大的域$Q$，那么是不是所有的环都能扩充成域？如果不是，在什么限制条件下，环可以扩充成域？

• 无零因子：有零因子的环，即$\exists a,b\ne 0,a\cdot b=0$，那么非零元全体(包括$a,b$)在乘法运算下不满足封闭性（非零元相乘得到零元），不构成群；
• 有单位元：域$\to$除环，非零元全体构成群，群的定义：有单位元
• 交换环：存在无零因子的非交换环不一定能被一个除环包含，可交换性在定义商域的代数运算时有用到

综上，整环满足所有条件，即整环可以扩充成一个域。

整环如何扩充成域/商域quotient field

整环扩充成域的构造过程：设$D$为整环，单位元为$e$

第一步：构造集合$S$

$S=\{(a,b)|a,b\in D,b\ne 0\}$

第二步：在$S$上定义一个等价关系

$\forall (a,b),(c,d)\in S,(a,b)\sim (c,d)\leftrightarrow ad=bc$

• 证明等价：

  • 自反性：证$(a,b)\sim (b,a)$

    $ab=ba\to (a,b)\sim (a,b)$

  • 对称性：证$(a,b)\sim (c,d)\to (c,d)\sim (a,b)$

    $$\begin{gathered} (a,b)\sim (c,d) \\ \to ad=bc \\ \to da=cb \\ \to cb=da \\ \to (c,d)\sim (a,b) \end{gathered}$$

  • 传递性：证$(a,b)\sim (c,d),(c,d)\sim (e,f)\to (a,b)\sim (e,f)$

    $$\begin{gathered} (a,b)\sim (c,d) \\ \to ad=bc \end{gathered}$$ (1)
    $$\begin{gathered} (c,d)\sim (e,f) \\ \to cf=de \end{gathered}$$ (2)
    (1)(2) 相乘：$a(dc)f=b(cd)e,d\ne 0$

    • $c=0$，

      由（1）得：$a=0$
      由（2）得：$e=0$
      所以，$af=be=0\to (a,b)\sim (e,f)$

    • $c\ne 0$

      $c\ne 0,d\ne 0\to cd\ne 0,dc\ne 0$
      又无零因子的环$\to$左右消去律成立得，$$\begin{gathered} a(dc)f=b(cd)e \\ \to a(cd)f=b(cd)e \\ \to af=be \\ \to (a,b)\sim (e,f) \end{gathered}$$

第三步：由等价关系(划分)得到商集$F$

• 划分：$[\frac{a}{b}]=\{(c,d)\in S|(c,d)\sim (a,b)\}$
• 商集：$F=S/\sim =\{[\frac{a}{b}]|a,b\in D,b\ne 0\}$

第四步：定义商集$F$的运算，使$F$构成域

• 域：乘法交换+除环；
• 除环：非零元全体构成乘法群+环；
• 环：加法交换群+乘法结合+乘法对加法分配
• 加法交换群：加法封闭+加法结合+加法单位元+加法逆元+加法交换
• 非零元全体构成乘法群：乘法封闭+乘法结合+乘法单位元+乘法逆元

综上，我们要证的有：

• 加法、乘法交换
• 加法、乘法结合
• 乘法对加法分配
• 加法、乘法单位元
• 加法、乘法逆元

首先，我们定义商集$F$上的加法、乘法运算

$$\begin{gathered} \forall [\frac{a}{b}],[\frac{c}{d}]\in S, \\ [\frac{a}{b}]+[\frac{c}{d}]=[\frac{ad+bc}{bd}] \\ [\frac{a}{b}]\cdot [\frac{c}{d}]=[\frac{ac}{bd}] \end{gathered}$$

证明：

• "+","·"是$F$上的代数运算

  要证$[\frac{a}{b}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}],[\frac{c}{d}]=[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}]\to [\frac{a}{b}]+[\frac{c}{d}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}]+[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}],[\frac{a}{b}]\cdot [\frac{c}{d}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}]\cdot [\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}]$

  $$\begin{gathered} [\frac{a}{b}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}],[\frac{c}{d}]=[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}] \\ \to a^{\prime }b=a{b}^{\prime },c^{\prime }d=c{d}^{\prime } \end{gathered}$$

  • 证"+"

  $$\begin{gathered} (ad+bc)b^{\prime }{d}^{\prime } \\ =ad{b}^{\prime }{d}^{\prime }+bc{b}^{\prime }{d}^{\prime } \\ =(a{b}^{\prime })d{d}^{\prime }+b{b}^{\prime }(c{d}^{\prime }) \\ =(a^{\prime }b)d{d}^{\prime }+b{b}^{\prime }(c^{\prime }d) \\ =(a^{\prime }{d}^{\prime })bd+(b^{\prime }{c}^{\prime })bd \\ =(a^{\prime }{d}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime })bd \end{gathered}$$

  $(ad+bc)b^{\prime }{d}^{\prime }=(a^{\prime }{d}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime })bd\to [\frac{a}{b}]+[\frac{c}{d}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}]+[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}]$

  • 证"·"
    $ac{b}^{\prime }{d}^{\prime }=(a{b}^{\prime })(c{d}^{\prime })=(a^{\prime }b)(c^{\prime }d)=a^{\prime }{c}^{\prime }cd$
    $ac{b}^{\prime }{d}^{\prime }=a^{\prime }{c}^{\prime }cd\to [\frac{a}{b}]\cdot [\frac{c}{d}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}]\cdot [\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}]$

• 加法、乘法交换

  $\forall [\frac{a}{b}],[\frac{c}{d}]\in F,$
  $[\frac{a}{b}]+[\frac{c}{d}]=[\frac{ad+bc}{bd}]=[\frac{c}{d}]+[\frac{a}{b}]$
  $[\frac{a}{b}]\cdot [\frac{c}{d}]=[\frac{ac}{bd}]=[\frac{c}{d}]\cdot [\frac{a}{b}]$

• 加法、乘法结合

  类似交换，易证。

• 乘法对加法分配

  类似交换，易证。

• 加法、乘法单位元

  $\forall [\frac{a}{b}]\in F,[\frac{0}{1}]+[\frac{a}{b}]=[\frac{a}{b}]$
  $\forall [\frac{a}{b}]\in F,[\frac{1}{1}]\cdot [\frac{a}{b}]=[\frac{a}{b}]$

• 加法、乘法逆元

  $\forall [\frac{a}{b}]\in F,[\frac{-a}{b}]+[\frac{a}{b}]=[\frac{ab-ab}{b^2}]=[\frac{0}{1}]$
  $\forall [\frac{a}{b}]\in F,[\frac{b}{a}]\cdot [\frac{a}{b}]=[\frac{ab}{ab}]=[\frac{1}{1}]$

第五步：域$F$构造一个包含整环$D$的域$Q$

由环的扩张定理知：$\phi :D\to F$，只要证

• $D,F$是环
• $D\cap F=\varnothing$
• $\phi$是单同态

就可以得到$\exists Q,D\le Q,{\phi }^{\prime }:Q\to F,{\phi }^{\prime }$是同构

前两者易得，证明$\phi$是单同态：

• 构造映射：$\phi :D\to F,\phi (x)=[\frac{x}{1}],x\in D$

• 证明同态：

  $\phi (x+y)=[\frac{x+y}{1}]=[\frac{x}{1}]+[\frac{y}{1}]=\phi (x)+\phi (y)$
  $\phi (x\cdot y)=[\frac{x\cdot y}{1}]=[\frac{x}{1}]\cdot [\frac{y}{1}]=\phi (x)\cdot \phi (y)$

• 证明单射：$\forall x,y\in D,[\frac{x}{1}]=[\frac{y}{1}]\to x\cdot 1=y\cdot 1\to x=y$

第六步：域$Q$的元素的表达式

$D\le Q\to Q$包含$D$的每个非零元，以及非零元的逆元，
故$Q=\{a{b}^{-1}|a,b\in D,b\ne 0\}$

验证：从${\phi }^{\prime }:Q\to F$反推：${\phi }^{\prime -1}:F\to Q$

$$\begin{gathered} {\phi }^{\prime -1}([\frac{a}{b}]) \\ ={\phi }^{\prime -1}([\frac{a}{1}]\cdot [\frac{1}{b}]) \\ ={\phi }^{\prime -1}([\frac{a}{1}])\cdot {\phi }^{\prime -1}([\frac{1}{b}]) \\ ={\phi }^{\prime -1}([\frac{a}{1}])\cdot {\phi }^{\prime -1}([\frac{b}{1}{]}^{-1}) \\ =a\cdot ({\phi }^{\prime -1}([\frac{b}{1}]){)}^{-1} \\ =a\cdot b^{-1} \end{gathered}$$

我们称域$Q$是整环$D$的商域

对比整数环、整环的商域

整数环$Z\to Q:n\to \frac{n}{m}|n\in Z,m\ne 0$
整环$D\to Q:a\to \frac{a}{b}|a,b\in D,b\ne 0$

可以看出，整环的商域与有理数域是类似的。