傅里叶级数和傅里叶变换简介和推导

一.傅里叶变换简介

在数学上,对任意函数 f(x),可按某一点进行展开,常见的有泰勒展开和傅里叶展开。 泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式, 本质上自变量未改变,仍为 x。但是傅里叶变换有:

  • 傅里叶展开为三角函数的线性组合。
  • 将自变量由x变成 ω。
  • 由时域分析变换到频域分析。
    由于这些特点,所以信号处理上经常使用傅里叶变换。
    信号分析与处理中常见的有:
简称 全称
CFS(Continuous-time Fourier Series) 连续时间傅里叶级数
CFT(Continuous-time Fourier Transform) 连续时间傅里叶变换
DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 离散时间傅里叶变换
DFS(Discrete Time Fourier Series) 离散傅里叶级数
DFT(Discrete Fourier Transform) 离散傅里叶变换

二.傅里叶级数和傅里叶变换的联系

1.相同点

傅里叶级数和傅里叶变换都源自于傅里叶原理得出;傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的,傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数,这样,周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数。

2.不同点

  • 本质不同
    傅里叶变换是完全的频域分析,而傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式,也就是正交级数,它是不同的频率的波形的叠加。
  • 适用范围不同
    傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析,傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式,也可以看作是对周期现象进行数学上的分析,同时也适用于非周期性现象的分析。
  • 周期性不同
    傅里叶级数是一种周期变换,傅里叶变换是一种非周期变换。傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开,如果把周期函数的周期取作无穷大,对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。

三.CFS-连续时间傅里叶级数

在数学上,周期函数 f(x) 可以展开为:
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由此类比,已知连续周期信号 x(t),周期为T0,则其傅里叶级数为
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其中,
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为了简写,有
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其中,
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为了与复数形式联系,由欧拉公式
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固有:
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对于Dn,有
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当 n≤0 , 同理。
所以
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四.CFT-连续时间傅里叶变换

连续非周期信号x(t),可以将其看成一连续周期信号XT0(t)的周期T0→∞。当然,从时域上XT0(t)也可以反过来看成x(t)的周期延拓。
将x(t)进行CFS展开,有

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若令
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由此,定义傅里叶变换与其逆变换如下
CFT:
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CFT-1
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x(t)是信号的时域表现形式, X(jΩ) 是信号的频域表现形式,二者本质上是统一的,相互间可以转换。CFT即将 x(t)分解,并按频率顺序展开,使其成为频率的函数。上式中,时域自变量 t 的单位为秒( s),频域自变量 Ω的单位为弧度 /秒( rad/s)。
CFS 中的 Dn 与 CFT 中的 X(jΩ) 之间有如下关系:
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从频域上分析, Dn 是对X(jΩ)的采样。

五.DTFT-离散时间傅里叶函数

首先,先从连续信号得到离散信号。
引进冲激信号:
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对连续非周期信号Xc(t)进行采样,采样间隔为Ts,有
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此时的Xs(t)还不是真正的离散信号,它只是在满足 t=nTs的时间点上有值,在其它时间点上值为零。对xs(t)进行进一步的处理有
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规定,
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则,
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其中,x[n]是最终得到的离散信号。xs(t)自变量为t,其单位为秒s,间隔为Ts;x[n]自变量为n,其单位为1,间隔为1。
从频域上分析有
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其中 x[n]=xc(nTs) ,令 ω = ΩTs,定义
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以上式为DTFT定义式,DTFT逆变换为
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DTFT是在时域上对CFT的采样,在DTFT中,时域信号x[n]为离散的,而对应的频域表示 x(e) 为连续的,且有周期 ωs=2π
X(e)与Xs(jΩ)之间的关系为
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Xs(jΩ)中,自变量Ω单位为弧度/秒,周期为Ωs=2π/Ts;X(e)中,自变量ω单位为弧度,周期为ωs=2π

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