傅里叶级数和傅里叶变换简介和推导

一.傅里叶变换简介

在数学上，对任意函数 f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。 泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式， 本质上自变量未改变，仍为 x。但是傅里叶变换有：

• 傅里叶展开为三角函数的线性组合。
• 将自变量由x变成 ω。
• 由时域分析变换到频域分析。
  由于这些特点，所以信号处理上经常使用傅里叶变换。
  信号分析与处理中常见的有：

简称	全称
CFS（Continuous-time Fourier Series)	连续时间傅里叶级数
CFT（Continuous-time Fourier Transform）	连续时间傅里叶变换
DTFT（Discrete Time Fourier Transform）	离散时间傅里叶变换
DFS（Discrete Time Fourier Series）	离散傅里叶级数
DFT（Discrete Fourier Transform）	离散傅里叶变换

二.傅里叶级数和傅里叶变换的联系

1.相同点

傅里叶级数和傅里叶变换都源自于傅里叶原理得出；傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数。

2.不同点

• 本质不同
  傅里叶变换是完全的频域分析，而傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它是不同的频率的波形的叠加。
• 适用范围不同
  傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析，傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。
• 周期性不同
  傅里叶级数是一种周期变换，傅里叶变换是一种非周期变换。傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开，如果把周期函数的周期取作无穷大，对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。

三.CFS-连续时间傅里叶级数

在数学上，周期函数 f(x) 可以展开为：

由此类比，已知连续周期信号 x(t)，周期为T₀，则其傅里叶级数为

其中，

为了简写，有

其中，

为了与复数形式联系，由欧拉公式

得

固有：

令

则

对于D_n，有

当 n≤0 ， 同理。
所以

四.CFT-连续时间傅里叶变换

连续非周期信号x(t)，可以将其看成一连续周期信号X_T0(t)的周期T₀→∞。当然，从时域上X_T0(t)也可以反过来看成x(t)的周期延拓。
将x(t)进行CFS展开，有

若令

则

有
由此，定义傅里叶变换与其逆变换如下
CFT：

CFT^-1：

x(t)是信号的时域表现形式， X(jΩ) 是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。CFT即将 x(t)分解，并按频率顺序展开，使其成为频率的函数。上式中，时域自变量 t 的单位为秒（ s），频域自变量 Ω的单位为弧度 /秒（ rad/s）。
CFS 中的 Dn 与 CFT 中的 X(jΩ) 之间有如下关系：

从频域上分析， Dn 是对X(jΩ)的采样。

五.DTFT-离散时间傅里叶函数

首先，先从连续信号得到离散信号。
引进冲激信号：

对连续非周期信号X_c(t)进行采样，采样间隔为T_s，有

此时的X_s(t)还不是真正的离散信号，它只是在满足 t=nT_s的时间点上有值，在其它时间点上值为零。对x_s(t)进行进一步的处理有

规定，

则，

其中，x[n]是最终得到的离散信号。x_s(t)自变量为t，其单位为秒s，间隔为T_s；x[n]自变量为n，其单位为1，间隔为1。
从频域上分析有

其中 x[n]=x_c(nT_s) ，令 ω = ΩT_s，定义

以上式为DTFT定义式，DTFT逆变换为

DTFT是在时域上对CFT的采样，在DTFT中，时域信号x[n]为离散的，而对应的频域表示 x(e^jω) 为连续的，且有周期 ω_s=2π
X(e^jω)与X_s(jΩ)之间的关系为

X_s(jΩ)中，自变量Ω单位为弧度/秒，周期为Ω_s=2π/T_s；X(e^jω)中，自变量ω单位为弧度，周期为ω_s=2π