【概率论】随机变量函数的分布

未经同意，禁止转载

本文为本人在校学习笔记，若有疑问或谬误，欢迎探讨、指出。

【概率论】随机变量函数的分布

一维

离散型

1. 确定变换后的变量的取值情况，分别求概率

2. 连续型随机变量的函数 $\to$ 离散型

   

连续型

1. 一般步骤

   Step1.

   根据X的分布区间（或其它信息）确定Y的分布区间（取值范围）

   Step2.

   用$Y(X)$ 替换 $Y $ ，通过不等式等价变换出关于关于X的分布函数（或其形式）

   注意：Y变换到X时，有可能从连续的Y区间变成若干段X区间（如三角函数 $Y=\sin X$ 等），可以画图讨论

   Step3.

   分布函数求导得到概率密度
   $$\begin{array}{rl}& F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}=P\{X\le h(y)\}=F_X(h(y))\\ & f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=F_X^{\prime }(h(y))\cdot h^{\prime }(y)\end{array}$$

• $x\sim N(0,1)$ 用 $Y=X^2$ 替换，可以得到自由度为1 的 ${\chi }^2$分布

2. 已知 $X$ 概率密度 $f(x)，-\infty <x<\infty$。

   若函数 $g(x)$ 处处可导且严格单调（导数恒大于或小于0），则 $Y=g(X)$ 是连续型随机变量，其概率密度为：
   $$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X[h(y)]\cdot |h^{\prime }(y)|,& \alpha <y<\beta \\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$
   where
   $$\begin{gathered} \alpha =min\{g(-\infty ),g(\infty )\}, \\ \beta =max\{g(-\infty ),g(\infty )\}, \\ h(x)=g^{-1}(x) \end{gathered}$$
   若 $f(x)$ 在半无限区间 / 有界区间 $[a,b]$ 以外等于0，只需要假设在 $[a,b]$ 上严格单调，则有
   $$\alpha =\underset{a\le x\le b}{\min }g(x),\beta =\underset{a\le x\le b}{\max }g(x),$$

   NOTICE： 用定理，明确区间，说明满足定理条件（严格单调）

   如果在连续区间内函数是==分段单调，则不能直接对整个区间用定理，需要分段计算==，或者通过转换为同一个区间（如函数有对称性）内后计算/用定理。

二维

求替换（如 $Z=aX+bY$ )后变量的 分布函数/密度 基本步骤：

Step1. 求联合分布

判断X、Y的独立性，以及替换模式（是否为X+Y、XY、X/Y等）。写出联合密度函数 $f(x,y)$。

（当相互独立的特殊类型时，用卷积公式或其它结论可以直接计算新变量的概率密度）

Step2. 确定积分域

把新变量 $Z$ 看作一个常数，在 $xOy$ 平面上确定函数曲线（如 $Y=-\frac{a}{b}X+\frac{1}{b}Z$ ）与联合分布本身密度不为零的区域边界，构成积分域。

Step3. 积出分布函数

计算分布函数。

Step4. 求导计算密度

分布函数求导得到新变量的概率密度。

Z = X+Y 分布

• $(X,Y)$ 是二维连续型随机变量，其概率密度为 $f(x,y)$， 则 $Z=X+Y$ 有
  $$\begin{gathered} f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)\mathrm{d}y \\ {f}_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)\mathrm{d}x \end{gathered}$$

  当 $XY$ 相互独立时，有卷积公式
  $$f_X\ast f_Y=f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x$$

• 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。

  相互独立，相互独立，相互独立。
  $$\begin{gathered} X\sim ({\mu }_i,{\sigma }_i^2),Z=\sum X_i \\ \Rightarrow Z\sim (\sum {\mu }_i,\sum {\sigma }_i^2) \end{gathered}$$

（推导过程 P76）

Z = X/Y 和 Z = XY 分布

若 $(X,Y)\sim f(x,y)$，则有
$$\begin{gathered} f_{Y/X}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x|f(x,xz)\mathrm{d}x \\ {f}_{XY}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})\mathrm{d}x \end{gathered}$$
若相互独立，则同样有
$$\begin{gathered} f_{Y/X}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x|f_X(x)f_Y(xz)\mathrm{d}x \\ {f}_{XY}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{|x|}{f}_X(x)f_Y(\frac{z}{x})\mathrm{d}x \end{gathered}$$

M = max{X,Y} 和 N = min{X,Y} 分布

相互独立的随机变量 $X,Y$ 分布函数分别为 $F_X(x),F_Y(y)$ ,则

• $M=\max \{X,Y\}$ 的分布函数

  $$F_{max}(z)=P\{M\le z\}=P\{X\le z,Y\le z\}=P\{X\le z\}P\{Y\le z\}$$

  $$\Rightarrow F_{max}(z)=F_X(z)F_Y(z)$$

  容易推广到 $N=\min \{X_1,X_2,...,X_n\}$ 时的例子。

• $N=\min \{X,Y\}$ 的分布函数
  $$F_{min}(z)=P\{N\le z\}=1-P\{N>z\}=1-P\{X>z,Y>z\}$$

  $$\Rightarrow F_{min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$$

  容易推广到 $N=\min \{X_1,X_2,...,X_n\}$ 时的例子。

  特别的，当所有 $X_i$ 共享一个分布函数 $F(z)$ 时，有
  $$F_{min}(z)=1-[1-F(z){]}^n$$