进阶练习 树相关问题（未解决）

1.题目信息

在论坛上看到的提问，目前还未解决，按@赵4老师的建议进行阶段性梳理，以便提升自己的逻辑思维能力，同时方便大家查阅

2. 写在前面

0. 该题需要对树结构有一定了解，同时需要良好的逻辑思维能力，才可能发现规律

1. 题目初看起来人畜无害，只要按标准步骤处理即可：从少量的结点入手，找到规律后编码递归解决。实际上却很难找到规律

2. 需要说明：交换子树的位置后，若树结构相同，则视为同一棵树（如图所示。我的图比较丑 大家凑合看）；另外，题目并没有限定为二叉树
   

3. 下面把 赵4老师 及 其他大神的分析进行整理，以期方便大家找到规律

4. 个人建议还是自己动手画一下，锻炼下自己的逻辑思维能力：老师的图可以作为参考

3. 图示和思路

1. 从结点1到结点6 ： 赵4老师纯手工输出(●’◡’●)
   N=1, 1种
   N=2, 2种
   N=3, 4种
   N=4, 9种
   N=5, 20种
   N=6, 48种

2. N=1 N=2 N=3
   

3. N=4
   

4. N=5
   

5. N=6
   

6. 不好意思，上述基本属于纯搬运，我目前还没有找到规律，后面有时间了会继续思考。有思路的童鞋欢迎留言

4. 代码框架(to be continued)

5. 参考信息

1. CSDN论坛相关问题页面
2. 战争大神的思路 //我目前没看懂 ( ╯□╰ )
   n个相同节点（n不包括固定的根节点）生成树的数量，分成两个步骤：
   第一步，求n个节点的排列关系，不考虑节点之间的父子关系，相当于把树的节点之间的连线去掉的形态，这种拆分叫composition，是有顺序的，1-2-3和1-3-2、3-1-2属于不同拆分，c(n)=2^(n-1)，这个就不证明了，早就有人证过了。
   第二步，对第一步生成的每一种节点排列形式，求每一层对上一层的拆分数，比如某种节点排列形式第一层有两个节点，第二层有三个，则求p(2, 1)、p(3, 2)，第一层不需要计算，因为p(n, 1)=1。p(n, k)表示把n拆分为k个非负整数（允许0）之和的数量，不考虑顺序关系，1-2和2-1是同一种拆分。p(n, k)可以递归实现，比较简单。把每一层求得的拆分数相乘，即是该种节点排列形式下生成树的总数。
   将每种节点排列形式下生成树的数量相加，就是n个节点的生成树的总数。
   简单计算结果（不保证正确）：
   n(1) = 1
   n(2) = 2
   n(3) = 4
   n(4) = 9
   n(5) = 20
   n(6) = 47 (战争的补充：计算某一层对上一层的拆分数，不能只考虑上一层的节点总数，还要考虑分块数，应该是48；分块还要去重，只需要考虑具有不同节点数的分块)
   …
   32位有符号数只能计算到n=26