直线的生成算法

在光栅显示器的荧光屏上生成一个对象，实质上是往帧缓存寄存器的相应单元中填入数据。画一条从（x1, y1）到（x2, y2）的直线，实质上是一个发现最佳逼近直线的象素序列，并填入色彩数据的过程。这个过程也称为直线光栅化。

直线的DDA算法

DDA是数字微分分析式（Digital Differential Analyzer）的缩写。设直线之起点为（x1，y1），终点为（x2，y2），则斜率m为：

m = (y2-y1)/(x2-x1)=dy/dx

   直线中的每一点坐标都可以由前一点坐标变化一个增量（Dx, Dy）而得到，即表示为递归式：

xi+1=xi+Dx

yi+1=yi+Dy

并有关系：Dy = m · Dx

递归式的初值为直线的起点（x1, y1），这样，就可以用加法来生成一条直线。具体方法是：

　

图 2.1.1 直线方向的8个象限

                                             

                                                        

表 2.1.1

象限	|dx|>|dy|?	D x	D y
1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b	Ö ´ Ö ´ Ö ´ Ö ´	1 1/m -1 -1/m -1 -1/m 1 1/m	m 1 m 1 -m -1 -m -1

按照直线从（x1，y1）到（x2，y2）的方向不同，分为8个象限（图 2.1.1 ）。对于方向在第1a象限内的直线而言，D x=1，D y=m。对于方向在第1b象限内的直线而言，取值Dy=1，Dx=1/m。各象限中直线生成时Dx, Dy的取值列在表2.1.1之中。

研究表中的数据，可以发现两个规律：

1、当|dx|>|dy|时

|D x|=1, |D y|=m；

否则：

Dx=1/m，|Dy|=1

　

2、Dx, Dy的符号与dx, dy的符号相同。

这两条规律可以导致程序的简化。由上述方法写成的程序如程序 2.1.1 所示。其中steps变量的设置，以及D x=dx/steps; D y=dy/steps等语句，正是利用了上述两条规律，使得程序变得简练。

使用DDA算法，每生成一条直线做两次除法，每画线中一点做两次加法。因此，用DDA法生成直线的速度是相当快的。

#include  < stdlib.h >

#include  < math.h >

inline  int  round( const   float  a) {return int(a+0.5);}

 

void lineDDA( int  xa,  int  ya,  int  xb,  int  yb, int  c)

{

float delta_x, delta_y, x, y;

int dx, dy, steps, k;

dx=xb-xa;

dy=yb-ya;

if (abs(dx)>abs(dy)) steps=abs(dx);

else steps=abs (dy);

delta_x=(float)dx / (float)steps;

delta_y=(float)dy / (float)steps;

x=xa;

y=ya;

set_pixel(x, y, c);

for (k=1; k<=steps; k++)

{

x+=delta_x;

y+=delta_y;

set_pixel(x, y, c);

}

}

程序2. 1.1  DDA直线生成程序

 

直线的Bresenham算法

   本算法由Bresenham在1965年提出。设直线从起点（x1, y1）到终点（x2, y2）。直线可表示为方程y=mx+b。其中

b = y1 - m * x1, 

m = (y2-y1)/(x2-x1)=dy/dx

   我们的讨论先将直线方向限于 1a 象限（图 2.1.1 ）在这种情况下，当直线光栅化时，x每次都增加1个单元，即

xi+1=xi+1。而y的相应增加应当小于1。为了光栅化，yi+1只可能选择如下两种位置之一。

yi+1的位置选择yi+1=yi 或者 yi+1=yi+1。选择的原则是看精确值y与yi及yi+1的距离d1及d2的大小而定。计算式为：

y=m(xi+1)+b ( 2.1.1 )

d1=y-yi ( 2.1.2 )

d2=yi+1-y ( 2.1.3 )

如果d1-d2>0，则yi+1=yi+1，否则yi+1=yi。因此算法的关键在于简便地求出d1-d2的符号。将式（ 2.1.1 ）、（2.1.2）、（2.1.3）代入d1-d2，得

d1-d2=2y-2yi-1=2（dy/dx） (xi+1)-2yi+2b-1

用dx乘等式两边，并以Pi=dx(d1-d2)代入上述等式，得

Pi=2xidy-2yidx+2dy+dx(2b-1) ( 2.1.4 )

d1-d2是我们用以判断符号的误差。由于在 1a 象限，dx总大于0，所以Pi仍旧可以用作判断符号的误差。Pi-1为：

Pi+1=Pi+2dy-2dx(yi+1-yi) ( 2.1.5 )

误差的初值P1，可将x1, y1，和b代入式（ 2.1.4 ）中的xi, yi而得到：

P1=2dy-dx

综述上面的推导，第1a象限内的直线Bresenham算法思想如下：

　

1、画点(x1, y2); dx=x2-x1; dy=y2-y1；

计算误差初值P1=2dy-dx; i=1；

 

2、求直线的下一点位置：

xi+1=xi+1；

if Pi>0 则yi+1=yi+1；

否则yi+1=yi；

 

3、画点（xi+1, yi-1）；

 

4、求下一个误差Pi+1；

if Pi>0 则Pi+1=Pi+2dy-2dx;

否则Pi+1=Pi+2dy；

 

5、i=i+1; if i<dx+1则转2；否则end。

 

Bresenham算法的优点是：

1、不必计算直线之斜率，因此不做除法；

 

2、不用浮点数，只用整数；

 

3、只做整数加减法和乘2运算，而乘2运算可以用硬件移位实现。

 

Bresenham算法速度很快，并适于用硬件实现。

　

    由上述算法思想编制的程序如程序 2.1.2 。这个程序适用于所有8个方向的直线（图2.1.1）的生成。程序用色彩C画出一条端点为（x1, y1）和（x2, y2）的直线。其中变量的含义是：P是误差；const1和const2，是误差的逐点变化量；inc是y的单位递变量，值为1或-1；tmp是用作象限变换时的临时变量。程序以判断|dx|>|dy|为分支，并分别将 2a , 3a 象限的直线和3b, 4b象限的直线变换到 1a , 4a 和2b, 1b方向去，以求得程序处理的简洁。

void  line ( int  x1, y1, x2, y2, c)
{
int dx;
int dy;
int x;
int y;
int p;
int const1;
int const2;
int inc;
int tmp;
dx=x2-x1;
dy=y2-y1;
if (dx*dy>=0) /**//*准备x或y的单位递变值。*/
          inc=1;
else
inc=-1;
if (abs(dx)>abs(dy)){
      if(dx<0){
               tmp=x1; /**//*将2a, 3a象限方向*/
               x1=x2; /**//*的直线变换到1a, 4a*/
               x2=tmp;
               tmp=y1; /**//*象限方向去*/
               y1=y2;
               dx=-dy;
               dy=-dy;
           }
      p=2*dy-dx;
      const1=2*dy; /**//*注意此时误差的*/
      const2=2*(dy-dy); /**//*变化参数取值. */
      x=x1;
      y=y1;
      set_pixel(x, y, c);
      while (x<x2){
          x++;
          if (p<0)
                       p+=const1;
             else{
                       y+=inc;
                       p+=const2;
                    }
             set_piexl(x, y, c);
         }
}
else {
       if (dy<0){
                    tmp=x1; /**//* 将3b, 4b象限方向的*/
                    x1=x2; /**//*直线变换到2b, 1b */
                    x2=tmp; /**//*象限方向去. */
                    tmp=y1;
y1=y2;
dx=-dy;
dy=-dy;
}
p=2*dx-dy; /**//*注意此时误差的*/
const1=2*dx; /**//*变化参数取值. */
const2=2*(dx-dy);
x=x1;
y=y1;
set_pixel (x, y, c);
      while (y<y2){
             y++;
             if(p<0)
                    p+=const1;
             else{
x+=inc;
p+=const2;
set_pixel (x, y, c);
}
              }
}
　
程序2.1.2 适用于直线所有八个方向的Bresenham直线生成算法