模平方剩余(二次剩余)与欧拉判别法
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模平方剩余(二次剩余)
定义
设 p p p为奇素数，且 ( a , p ) = 1 (a, p)=1 (a,p)=1，如果二次同余式 x 2 ≡ a ( m o d p ) x^2\equiv a \ (mod \ p) x2≡a (mod p)有解，则称 a a a为模 p p p的平方剩余。显然 a ≠ 0 a\not=0 a=0。
举例
- 如对于奇素数 p = 5 p=5 p=5，有：
1 2 ≡ 1 ( m o d 5 ) 2 2 ≡ 4 ( m o d 5 ) 3 2 ≡ 9 ≡ 4 ( m o d 5 ) 4 2 ≡ 16 ≡ 1 ( m o d 5 ) 1^2\equiv 1 \ (mod \ 5) \\ 2^2\equiv 4 \ (mod \ 5) \\ 3^2\equiv 9\equiv 4 \ (mod \ 5) \\ 4^2\equiv 16\equiv 1 \ (mod \ 5) 12≡1 (mod 5)22≡4 (mod 5)32≡9≡4 (mod 5)42≡16≡1 (mod 5)
因此，当 p = 5 p=5 p=5时，若 a = 1 或 4 a=1或4 a=1或4，则 x 2 ≡ a ( m o d p ) x^2\equiv a \ (mod \ p) x2≡a (mod p)有解。故1、4为模5的平方剩余；而2、3是模5的平方非剩余。 - 如对于奇素数 p = 7 p=7 p=7，有：
1 2 ≡ 1 ( m o d 7 ) 2 2 ≡ 4 ( m o d 7 ) 3 2 ≡ 9 ≡ 2 ( m o d 7 ) 4 2 ≡ 16 ≡ 2 ( m o d 7 ) 5 2 ≡ 25 ≡ 4 ( m o d 7 ) 6 2 ≡ 36 ≡ 1 ( m o d 7 ) 1^2\equiv 1 \ (mod \ 7) \\ 2^2\equiv 4 \ (mod \ 7) \\ 3^2\equiv 9\equiv 2 \ (mod \ 7) \\ 4^2\equiv 16\equiv 2 \ (mod \ 7) \\ 5^2\equiv 25\equiv 4 \ (mod \ 7) \\ 6^2\equiv 36\equiv 1 \ (mod \ 7) \\ 12≡1 (mod 7)22≡4 (mod 7)32≡9≡2 (mod 7)42≡16≡2 (mod 7)52≡25≡4 (mod 7)62≡36≡1 (mod 7)
因此，当 p = 7 p=7 p=7时，若 a = 1 或 2 或 4 a=1或2或4 a=1或2或4，则 x 2 ≡ a ( m o d p ) x^2\equiv a \ (mod \ p) x2≡a (mod p)有解。故1、2、4为模5的平方剩余；而3、5、6是模5的平方非剩余。
模平方剩余的个数
结论： 设 p p p为奇素数，则在模 p p p的简化剩余系中，模 p p p的平方剩余有 p − 1 2 \frac{p-1}{2} 2p−1个；模 p p p的平方非剩余也有 p − 1 2 \frac{p-1}{2} 2p−1个。
证明：
取模 p p p的简化剩余系：
− p − 1 2 , − ( p − 1 2 + 1 ) , … , − 2 , − 1 , 1 , 2 , … , p − 1 2 − 1 , p − 1 2 -\frac{p-1}{2},-(\frac{p-1}{2}+1),\dots,-2,-1,1,2,\dots,\frac{p-1}{2}-1,\frac{p-1}{2} −2p−1,−(2p−1+1),…,−2,−1,1,2,…,2p−1−1,2p−1则模 p p p的全部平方剩余为：
[ − p − 1 2 ] 2 , [ − ( p − 1 2 + 1 ) ] 2 , … , ( − 2 ) 2 , ( − 1 ) 2 , 1 2 , 2 2 , … , [ p − 1 2 − 1 ] 2 , [ p − 1 2 ] 2 [-\frac{p-1}{2}]^2,[-(\frac{p-1}{2}+1)]^2,\dots,(-2)^2,(-1)^2,1^2,2^2,\dots,[\frac{p-1}{2}-1]^2,[\frac{p-1}{2}]^2 [−2p−1]2,[−(2p−1+1)]2,…,(−2)2,(−1)2,12,22,…,[2p−1−1]2,[2p−1]2又因为 ( − a ) 2 ≡ a 2 ( m o d p ) (-a)^2\equiv a^2 \ (mod \ p) (−a)2≡a2 (mod p)，所以模 p p p的全部平方剩余可化简为：
1 2 , 2 2 , … , [ p − 1 2 − 1 ] 2 , [ p − 1 2 ] 2 1^2,2^2,\dots,[\frac{p-1}{2}-1]^2,[\frac{p-1}{2}]^2 12,22,…,[2p−1−1]2,[2p−1]2下用反证法证上 p − 1 2 \frac{p-1}{2} 2p−1个全部平方剩余数各不相同：
假设对于 i ≠ j , 1 ≤ i , j ≤ p − 1 2 i\not=j,1\leq i,j\leq \frac{p-1}{2} i=j,1≤i,j≤2p−1，有 i 2 ≡ j 2 ( m o d p ) i^2\equiv j^2 \ (mod \ p) i2≡j2 (mod p)成立，则必有：
i 2 − j 2 ≡ ( i + j ) ( i − j ) ≡ 0 ( m o d p ) 即 p ∣ ( i + j ) ( i − j ) i^2-j^2\equiv (i+j)(i-j)\equiv 0 \ (mod \ p) \\ 即p|(i+j)(i-j) i2−j2≡(i+j)(i−j)≡0 (mod p)即p∣(i+j)(i−j)又因为 p p p为素数，且 i 、 j i、j i、j受范围限制，因此上式显然不成立。
故当 i 2 ≡ j 2 ( m o d p ) i^2\equiv j^2 \ (mod \ p) i2≡j2 (mod p)时，必有 i = j , 1 ≤ i , j ≤ p − 1 2 i=j,1\leq i,j\leq \frac{p-1}{2} i=j,1≤i,j≤2p−1，因此上述平方剩余各不相同。
欧拉判别法
描述
若 p p p为奇素数，且 ( a , p ) = 1 (a,p)=1 (a,p)=1，判定一个数 a a a是模 p p p的平方剩余的充要条件是：
a p − 1 2 ≡ 1 ( m o d p ) a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \ (mod \ p) a2p−1≡1 (mod p) 判定一个数 a a a是模 p p p的平方非剩余的充要条件是：
a p − 1 2 ≡ − 1 ( m o d p ) a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \ (mod \ p) a2p−1≡−1 (mod p)
证明
下仅证明平方剩余的充要条件，平方非剩余的证明类似(用Wilson定理证)：
充分性：
设 g g g是 Z p Z_p Zp的本原元，则 Z p ∗ = { g 0 , g 1 , … , g p − 2 } Z_p^*=\{g^0, g^1,\dots,g^{p-2}\} Zp∗={ g0,g1,…,gp−2}。因为 ( g 2 i ) p − 1 2 ≡ 1 ( m o d p ) (g^{2i})^\frac{p-1}{2}\equiv 1\ (mod\ p) (g2i)2p−1≡1 (mod p)，所以，所有 g 2 i g^{2i} g2i， 0 ≤ i < p − 1 2 0\leq i<\frac{p-1}{2} 0≤i<2p−1均为多项式 x p − 1 2 − 1 x^{\frac{p-1}{2}}-1 x2p−1−1的根，且是其所有的 p − 1 2 \frac{p-1}{2} 2p−1个根。又因为：
a p − 1 2 ≡ 1 ( m o d p ) a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \ (mod \ p) a2p−1≡1 (mod p) 所以：
a ≡ g 2 i ( m o d p ) , 0 ≤ i < p − 1 2 a\equiv g^{2i}\ (mod\ p),0\le i< \frac{p-1}{2} a≡g2i (mod p),0≤i<2p−1 故，当 x ≡ g i x\equiv g^i x≡gi时，必有：
x 2 ≡ ( g i ) 2 ≡ g 2 i ≡ a ( m o d p ) x^2\equiv (g^i)^2\equiv g^{2i}\equiv a\ (mod\ p) x2≡(gi)2≡g2i≡a (mod p) 故充分性得证。
必要性：
如果数 a a a是模 p p p的平方剩余，则 a 或 a + k p a或a+kp a或a+kp必为平方数，由于 a ≡ a + k p ( m o d p ) a\equiv a+kp \ (mod \ p) a≡a+kp (mod p)，因次讨论 a a a为平方数的情况即可；又因为 ( a , p ) = 1 (a,p)=1 (a,p)=1，所以有 ( a , p ) = 1 (\sqrt a , p )=1 (a,p)=1；根据费马小定理有：
( a ) p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) , 即 a p − 1 2 ≡ 1 ( m o d p ) (\sqrt a)^{p-1}\equiv 1 \ (mod \ p),即a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1 \ (mod \ p) (a)p−1≡1 (mod p),即a2p−1≡1 (mod p) 故必要性得证。