对一副宽p、高q的二维灰度图,要完整表示该图像,需要m = p*q维的向量空间,比如100*100的灰度图像,它的向量空间为100*100=10000。下图是一个3*3的灰度图和表示它的向量表示:
该向量为行向量,共9维,用变量表示就是[v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8],其中v0...v8,的范围都是0-255。
现在的问题是假如我们用1*10000向量,表示100*100的灰度图,是否向量中的10000维对我们同样重要?肯定不是这样的,有些维的值可能对图像更有用,有些维相对来说作用小些。为了节省存储空间,我们需要对10000维的数据进行降维操作,这时就用到了PCA算法,该算法主要就是用来处理降维的,降维后会尽量保留更有意义的维数,它的思想就是对于高维的数据集来说,一部分维数表示大部分有意义的数据。
算法的基本原理:
假设 表示一个特征向量,其中
【注:xi可能也是一个列向量】
1.计算均值向量
2.计算协方差矩阵 S
3.计算S的特征值 和对应的特征向量
,根据线性代数知识我们知道有公式:
4. 对特征值按照大小进行递减排序,特征向量的顺序和特征值是一致的。假设我们只需要保留K个维数(K
对于被观测的向量,它的K个主成分量可以通过下面公式计算得到:
,其中
因为W是正交矩阵,所有有。
下面我们在OpenCV中看一个计算PCA的例子:
1.首先读入10副人脸图像,这些图像大小相等,是一个人的各种表情图片。
2.把图片转为1*pq的一维形式,p是图像宽,q是图像高。这时我们的S矩阵就是10行,每行是pq维的向量。
3.然后我们在S上执行PCA算法,设置K=5,求得5个特征向量,这5个特征向量就是我们求得的特征脸,用这5个特征脸图像,可以近似表示之前的十副图像。
图像库下载链接:http://www.cl.cam.ac.uk/Research/DTG/attarchive:pub/data/att_faces.zip
#include "opencv2/core/core.hpp" #include "opencv2/highgui/highgui.hpp" #include "opencv2/contrib/contrib.hpp" #include#include #include using namespace cv; using namespace std; //把图像归一化为0-255,便于显示 Mat norm_0_255(const Mat& src) { Mat dst; switch(src.channels()) { case 1: cv::normalize(src, dst, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_8UC1); break; case 3: cv::normalize(src, dst, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_8UC3); break; default: src.copyTo(dst); break; } return dst; } //转化给定的图像为行矩阵 Mat asRowMatrix(const vector & src, int rtype, double alpha = 1, double beta = 0) { //样本数量 size_t n = src.size(); //如果没有样本,返回空矩阵 if(n == 0) return Mat(); //样本的维数 size_t d = src[0].total(); Mat data(n, d, rtype); //拷贝数据 for(int i = 0; i < n; i++) { if(src[i].empty()) { string error_message = format("Image number %d was empty, please check your input data.", i); CV_Error(CV_StsBadArg, error_message); } // 确保数据能被reshape if(src[i].total() != d) { string error_message = format("Wrong number of elements in matrix #%d! Expected %d was %d.", i, d, src[i].total()); CV_Error(CV_StsBadArg, error_message); } Mat xi = data.row(i); //转化为1行,n列的格式 if(src[i].isContinuous()) { src[i].reshape(1, 1).convertTo(xi, rtype, alpha, beta); } else { src[i].clone().reshape(1, 1).convertTo(xi, rtype, alpha, beta); } } return data; } int main(int argc, const char *argv[]) { vector db; string prefix = "../att_faces/"; db.push_back(imread(prefix + "s1/1.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); db.push_back(imread(prefix + "s1/2.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); db.push_back(imread(prefix + "s1/3.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); db.push_back(imread(prefix + "s1/4.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); db.push_back(imread(prefix + "s1/5.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); db.push_back(imread(prefix + "s1/6.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); db.push_back(imread(prefix + "s1/7.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); db.push_back(imread(prefix + "s1/8.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); db.push_back(imread(prefix + "s1/9.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); db.push_back(imread(prefix + "s1/10.pgm", IMREAD_GRAYSCALE)); // Build a matrix with the observations in row: Mat data = asRowMatrix(db, CV_32FC1); // PCA算法保持5主成分分量 int num_components = 5; //执行pca算法 PCA pca(data, Mat(), CV_PCA_DATA_AS_ROW, num_components); //copy pca算法结果 Mat mean = pca.mean.clone(); Mat eigenvalues = pca.eigenvalues.clone(); Mat eigenvectors = pca.eigenvectors.clone(); //均值脸 imshow("avg", norm_0_255(mean.reshape(1, db[0].rows))); //五个特征脸 imshow("pc1", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(0)).reshape(1, db[0].rows)); imshow("pc2", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(1)).reshape(1, db[0].rows)); imshow("pc3", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(2)).reshape(1, db[0].rows)); imshow("pc4", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(3)).reshape(1, db[0].rows)); imshow("pc5", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(4)).reshape(1, db[0].rows)); while(1) waitKey(0); // Success! return 0; }
我们输入的10副图像为:
得到的5副特征脸为:
均值脸为:
1、OpenCV 从2.4开始支持3个新的人脸识别算法(点击,OpenCV2.4官方讲解,可下载图片库及测试程序)。
2、为了使用这三种算法,我们首先需要准备人脸训练样本,本文采用AT&T Facedatabase(点击下载)提供的人脸训练样本,该样本包括40个人,每人10张照片。照片在不同时间、不同光照、不同表情(睁眼闭眼、笑或者不笑)、不同人脸细节(戴眼镜或者不戴眼镜)下采集。所有的图像都在一个黑暗均匀的背景下,正面竖直人脸(有些有轻微旋转)。图像格式为pgm,图像大小为92*112,我们可以用gimp打开该格式的图像。
解压AT&T人脸数据库后,我们把目录att_faces拷贝到solution文件目录。在att_faces目录中,有s1,s2,...s40,共40个子目录,每个子目录中有1.pgm...10.pgm,10个文件,每个子目录对应一个人,子目录中的每副照片,对应一个人的各种人脸表情。比如s1中存放的10张人脸样本如下所示:
下面我们我们创建一个txt文件facerec_at.txt,格式如下,每一行包括两个字段,中间用“;”分开,第一个字段表示样本图片的路径文件名,第二个参数是一个整数索引,表示第几个人,例如第二个参数都为0,则表示第一个人,后面依次类推:
../att_faces/s13/2.pgm;12
../att_faces/s13/7.pgm;12
../att_faces/s13/6.pgm;12
../att_faces/s13/9.pgm;12
../att_faces/s13/5.pgm;12
../att_faces/s13/3.pgm;12
../att_faces/s13/4.pgm;12
../att_faces/s13/10.pgm;12
../att_faces/s13/8.pgm;12
../att_faces/s13/1.pgm;12
../att_faces/s17/2.pgm;16
../att_faces/s17/7.pgm;16
...
../att_faces/s38/10.pgm;37
../att_faces/s38/8.pgm;37
../att_faces/s38/1.pgm;37
3. Eigenfaces算法描述:
二维灰度图像p*q大小,是一个m=pq维的向量空间,一个100*100像素大小的图像就是10000维的图像空间。我们可以通过主成分分析算法(PCA)来对m维的图像向量进行降维操作。OpenCV中PCA算法细节,可以参考:http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/3432243.html,通过PCA算法,我们可以得到k个特征脸,k就是我们选择降到的维数。
令 表示一个随机特征,其中
.
x的K个主成份:
其中 .
PCA基的重构:
其中 .
然后特征脸通过下面的方式进行人脸识别:
4. 程序开始后,我们把样本图像和索引标签读到两个vector变量中。
// 得到txt文件的名字
string fn_csv = string("facerec_at_t.txt");
// 定义一个Mat格式的vector用来保存图像,int格式的vector表示图像索引标签
vector
vector
//读入图像文件和索引标签
try {
read_csv(fn_csv, images, labels);
} catch (cv::Exception& e)
{
cerr << "Error opening file \"" << fn_csv << "\". Reason: " << e.msg << endl;
exit(1);
}
我们选择images中的最后一副图片,作为检测的图像,并把它从images中移除。
Mat testSample = images[images.size() - 1];
int testLabel = labels[labels.size() - 1];
images.pop_back();
labels.pop_back();
通过下面的代码,我们输入待检测的图像,返回结果是对应人的索引标签,我们输入图像是第37个人,从结果看是对的。
//创建特征脸算法模型,并通过样本训练数据
Ptr
model->train(images, labels);
//通过predict输入待检测的图像,返回结果是索引标签
int predictedLabel = model->predict(testSample);
string result_message = format("Predicted class = %d / Actual class = %d.", predictedLabel, testLabel);
cout << result_message << endl;
5. 通过下面的代码,我们可以求得特征值和特征向量值,并把特征向量显示为特征脸。
// 特征值和特征向量
Mat eigenvalues = model->getMat("eigenvalues");
// And we can do the same to display the Eigenvectors (read Eigenfaces):
Mat W = model->getMat("eigenvectors");
//特征值列数是1,行数是特征值的数量399
//特征向量10304*399,每一列都是一个特征向量
//每一个特征值对应一个特征向量
printf("特征值数量 :%d\n", eigenvalues.rows);
printf("特征向量维数 :%d\n",W.rows);
//显示10个特征向量
for (int i = 0; i < min(10, W.cols); i++)
{
string msg = format("Eigenvalue #%d = %.5f", i, eigenvalues.at
cout << msg << endl;
// 得到第i个特征向量
Mat ev = W.col(i).clone();
// 把特征向量归一化到0-255,便于显示
Mat grayscale = toGrayscale(ev.reshape(1, height));
// 用Jet colormap显示灰度图.
imshow(format("gray image%d", i), grayscale);
Mat cgrayscale;
applyColorMap(grayscale, cgrayscale, COLORMAP_JET);
imshow(format("%d", i), cgrayscale);
}
我们总共显示了10个特征向量(特征脸),第一个特征脸的灰度图和color map图如下: