Ch1概率论的基本概念

Ch1 概率论的基本概念

1. 自然界的三种现象

 - 确定性现象：一定条件下必然发生的事情，如：太阳东升西落
 - 随机性现象：在大量重复实验中呈现统计规律性，如：扔硬币，正反的概率各为1/2
 - 不可能现象: 不可能发生的事情,如: 人不可能永生

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科．

2. 随机实验

满足三个条件：
1. 相同的条件下可重复进行；
2. 实验结果可能不唯一，且实验的所有可能结果都是明确的
3. 进行一次实验前，不确定会出现哪个可能结果

3. 样本空间和随机事件

1. 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S．
2. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点
3. 随机事件：E的样本空间S的子集，简称事件
4. 每次实验中，子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生．
5. 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．
6. S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S 称为必然事件
7. 空集称为不可能事件．

4. 事件之间的运算

1. 包含
   A$\subset$B:A的发生一定导致B的发生
   相等：A$\subset$B且B$\subset$A
2. 和事件
   A$\cup$B:当且仅当A,B中至少有一个发生时，A$\cup$B发生
3. 积事件
   A$\cap$B:当且仅当A和B同时发生时，A$\cap$B发生
4. 差事件
   A$-$B:当且仅当A发生B不发生，A-B发生
5. 不相容/互斥
   A$\cap$B$=$$\varnothing$:A和B不可能同时发生
6. 对立事件/逆事件
   A$\cup$B$=$S且A$\cap$B$=$$\varnothing$：A和B一定有一个发生另一个不发生
   记作:$\overline{A}=B=S-A$

5. 经常用到的定律

1. 交换率
   $A\cup B=B\cup A$
   $A\cap B=B\cap A$
2. 结合律
   $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
   $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
3. 分配律:注意逆向使用
   $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cap B)$
   $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap B)$
4. 德摩根率:注意逆向使用
   $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$
   $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

6. 频率和概率

1. 相同条件下，进行n次试验，事件A 发生的次数$n_A$称为事件A 发生的频数.比值$n_A$称为事件A 发生的频率，并记为$f_n(A)$
2. 性质:
   1. 频率在[0, 1]
   2. $f_n(S)=1$,$S$为样本空间
   3. 当$A_1,A_2,...,A_k$为两两不相容事件时:
      $$f_n(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+...+f_n(A_k)$$
   4. 频率大,事件发生越频繁
3. 设E是随机试验，S是它的样本空间．对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率
4. 性质:
   1. 非负性
   2. 规范性:$P(S)=1$
   3. 可列可加性:
      设$A_1,A_2,\dots$是两两互不相容的事件，即对于$A_i{A}_j=\varnothing$，$i\ne j$, $i,j=1,2,\dots$，有:
      $$P(A_1\cup A_2\cup ...)=P(A_1)+P(A_2)+...$$
   4. 若$A\subset B$,则:
      $$P(B-A)=P(B)-P(A)$$
   5. 加法公式
      $$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$
      当$n\to \infty$时,频率在一定意义下接近于概率

7. 古典概型

1.样本空间是有限的
2.实验中每个基本事件发生的可能性相同

8. 条件概率

1. A发生的条件下B发生的概率,$P(A)\ne 0$:
   $$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
2. 性质:
   1. 非负性
   2. 规范性
      对于必然事件$S$,有$P(S|A)=1$
   3. 可列可加性
      设$B_1，B_2，...$是两两互不相容的事件，则有:
      $$p(\bigcup _{i=1}^{\infty }B|A)=\sum _{i=1}^{\infty }P(B_i|A)$$
   4. 加法公式
      对于任意事件$B_1，B_2$,有:
      $$P(B_1\cup B_2|A)=P(B_1|A)+P(B_2|A)-P(B_1{B}_2|A)$$
   5. 乘法公式
      设$P(A)>0$,则:
      $$P(AB)=P(B|A)P(A)\text{,利用条件概率公式得出的}$$
      $$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$$
   6. 全概率公式
      划分:
      设$S$为试验$E$的样本空间， $B_1，B_2,\dots ，$凡为$E$的一组事件．若:
      $(i)B_i{B}_j=\varnothing ，i\ne j，i，j=1,2,\dots ，n$
      $(ii)B1\cup B2\cup \dots \cup B_n=S$
      则称$B_1,B_2,\dots ，$从为样本空间$S$的一个划分．
      全概率公式:
      设试验$E$的样本空间为$S$，$A$为$E$的事件，$B_1,B_2,\dots ,B_n$为$S$的一个划分，且$P(B_i)>0(i=1，2，...，n)$，则:
      $$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n)$$
   7. 贝叶斯公式
      设试验$E$的样本空间为$S$，$A$为$E$的事件，$B_1,B_2,\dots ,B_n$为$S$的一个划分，且$P(A)>0,P(B_i)>0(i=1，2，...，n)$，则:
      $$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(A|B_j)}$$
      或者
      $$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}$$
3. 求条件概率的两种方式
   (1) 按条件概率的含义，直接求出$P(B|A)$．注意到，在求$P(B|A)$时已知事件$A$已发生，样本空间$S$中所有不属于$A$的样本点都被排除，原有的样本空间$S$缩减成为$S^{\prime }=A$.在缩减了的样本空间$S^{\prime }=A$中计算事件$B$的概率就得到$P(B|A)$ .
   (2) 在$S$中计算$P(AB)$及$P(A)$ ，再按条件概率公式求得$P(B|A)$.

9. 独立性

1. 设$A,B$是两事件，如果满足等式
   $$P(AB)=P(A)P(B),$$
   则称事件$A,B$相互独立，简称$A,B$独立
2. 性质
   1. 设$A,B$是两事件，且$P(A)>0$．若$A,B$相互独立，则$P(B|A)=P(B)$．
   2. 若事件$A$与$B$相互独立， 则下列各对事件也相互独立：
      $A$与$\overline{B}$,$\overline{A}$与$B$ , $\overline{A}$与$\overline{B}$.
   3. 三个事件相互独立
      $$\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B),\\ P(AC)=P(A)P(C),\\ P(BC)=P(B)P(C),\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}\}$$