2017.3.7 组合数学学习——四个基本计数原理、排列

加法原理：
互相排斥的情况
划分少量且易处理
如果有p中方法能从一堆中选出一个物体，又有q中方法能从另一堆中选出一个物体，那么从这两堆中选出一个物体有p+q种方法
乘法原理：
对于集合S有p个a，每个a对应着q个b，那么|S|=p*q
使用条件：各任务间没有依赖情况
优先选择约束性最强的选择
除法原理：
条件：划分子集合大小相等
集合的排列：
定理：对于正整数n和r，r<=n
有P（n，r）=n*(n-1）*（n-r+1）=n！/（n-r）！
注：约定0!=1
例：将n个不同的数排序，使其中m个不同的数不能相邻，问方案数
解：①对于没有要求的n-m个数，有p（n-m，n-m）种排法
②对于不能相邻的数，他们只能出现在第①类数的前面、后面和空位上，所以有p（n-m+1，m）种排法
根据乘法原理，ans=p（n-m，n-m）*p（n-m+1，m）
线性排列：
例：从1——9中取7个数构成一个排列，要求5、6不相邻，求方案数
解法一，加法原理：
将答案分为4部分:
1、 取得数没有5和6，s1=p（7,7）
2、取得数有5没有6，s2=7*p（7,6）
3、取得数有6没有5，同2
4、取得数既有5又有6
再分为3种情况
① 若5在第一个，那么6有5种放法，反过来同理 s3=2*5*p（7,5）
② 若5在最后一个，同①
③ 若5在中间，那么5有5种放法，6有4种放法，反过来同理 s4=2*5*4*p（7,5）
ans=s1+s2*2+s3*2+s4
解法二，减法原理：
答案=所有的排列-5、6相邻的排列
1、所有的排列s1=p（9,7）
2、5 6相邻的排列，有6种放法5后面是6，反过来一样 s2=2*6*p（7，5）
ans=s1-s2
循环排列：
定理：n元素集合的循序r排列数目=p（n，r）/r
因为每个线性r排列可以看做r个循环r排列
特别地：n元素的循环排列为（n-1）！
可以把一个元素固定，那么剩下的n-1个元素就是一个线性排列
例1：10个围坐一圆桌,两人不愿意挨着，求座位设置方法
解法一：减法原理
两人挨着：将两人看做一个整体，插8个人的空
ans=所有排列-两人挨着的排列
=9！-2*8！=7*8！
解法二：
设a1、a2不愿意挨着，固定a1，那么a1左边有有8个人可以坐，右边有7个人可做，中间7个人随便坐，所以ans=8*7*7！=7*8！
例2：20个念珠串成一个项链，能做多少种不同的项链
解：项链数目：19！
项链反转过来，念珠排放不改变，所以ans=19！/2
此题与朴素循环排列的不同之处：
A 与 A 是不同的循环排列
B C C B
但是同一种项链，因为前者翻转过来就是后者

 

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