CF1478C. Nezzar and Symmetric Array（伪）题解
只过了Pretest，可能有误，欢迎批评指正
题面：https://codeforces.com/contest/1478/problem/C#
题意：
a数组有2n个元素，两两不同，且每个数和它的绝对值同时出现。如[-3,3,-1,1]。
根据公式 d i = ∑ j = 1 2 n ∣ a i − a j ∣ d_{i}=\sum_{j=1}^{2 n}\left|a_{i}-a_{j}\right| di=∑j=12n∣ai−aj∣ 求得d数组。即：d数组中每个元素，为a数组相应元素和其他所有元素绝对值的和。
已知d数组，求是否存在合法的a数组。
思路：
显然，d数组和a数组中，元素的顺序没什么卵用
假设a数组从大到小排好了序，只考虑a数组中的正数（也就是前n个）
容易发现
d i = ∑ j = 1 n m a x ( 2 a i , 2 a j ) d_i= \sum_{j=1}^{n} max(2a_i,2a_j) di=∑j=1nmax(2ai,2aj)
看图！
举个例子
例如a=[6,3,1,-1,-3,-6]
d 1 = 2 ∗ 6 + 2 ∗ 6 + 2 ∗ 6 = 36 d_1=2*6+2*6+2*6=36 d1=2∗6+2∗6+2∗6=36，因为 m a x ( 6 , 6 ) = 6 , m a x ( 6 , 3 ) = 6 , m a x ( 6 , 1 ) = 6 max(6,6)=6, max(6,3)=6, max(6,1)=6 max(6,6)=6,max(6,3)=6,max(6,1)=6
d 2 = 2 ∗ 6 + 2 ∗ 3 + 2 ∗ 3 = 24 d_2=2*6+2*3+2*3=24 d2=2∗6+2∗3+2∗3=24，因为 m a x ( 3 , 6 ) = 6 , m a x ( 3 , 3 ) = 3 , m a x ( 3 , 1 ) = 3 max(3,6)=6, max(3,3)=3, max(3,1)=3 max(3,6)=6,max(3,3)=3,max(3,1)=3
d 3 = 2 ∗ 6 + 2 ∗ 3 + 2 ∗ 1 = 20 d_3=2*6+2*3+2*1=20 d3=2∗6+2∗3+2∗1=20，因为 m a x ( 1 , 6 ) = 6 , m a x ( 1 , 3 ) = 3 , m a x ( 1 , 1 ) = 1 max(1,6)=6, max(1,3)=3, max(1,1)=1 max(1,6)=6,max(1,3)=3,max(1,1)=1
所以d=[36,24,20,20,24,36]
由于顺序没卵用，因此，若d数组是这一坨数，不管顺序如何，都一定YES
d有什么性质呢？
假设a数组从大到小排列，假设a数组从大到小排列，假设a数组从大到小排列，重要的事情说三遍！后文默认a是从大到小排好序的。d数组根据公式推出：
首先， d 1 = 2 n a 1 d_1=2na_1 d1=2na1，因为 a 1 a_1 a1一定是a数组中最大的数，根据上述公式， d 1 = 2 a 1 + 2 a 1 + ⋯ + 2 a 1 = 2 n a 1 d_1=2a_1+2a_1+\cdots+2a_1=2na_1 d1=2a1+2a1+⋯+2a1=2na1。
只有 a 1 > a 2 a_1>a_2 a1>a2，而且 a 3 ⋯ a n a_3\cdots a_n a3⋯an均小于 a 2 a_2 a2。因此 d 2 = 2 a 1 + 2 a 2 + 2 a 2 + ⋯ + 2 a 2 = 2 a 1 + 2 ( n − 1 ) a 2 d_2=2a_1+2a_2+2a_2+\cdots+2a_2=2a_1+2(n-1)a_2 d2=2a1+2a2+2a2+⋯+2a2=2a1+2(n−1)a2
同理可得 d 3 = 2 a 1 + 2 a 2 + 2 ( n − 2 ) a 3 d_3=2a_1+2a_2+2(n-2)a_3 d3=2a1+2a2+2(n−2)a3
d k = 2 a 1 + 2 a 2 + ⋯ + 2 a k − 1 + 2 ( n − k + 1 ) a k d_k=2a_1+2a_2+ \cdots+2a_{k-1}+2(n-k+1)a_k dk=2a1+2a2+⋯+2ak−1+2(n−k+1)ak
对于a的负数部分，其对应的d和正数部分对称出现。即 a 1 = − a 2 n , d 1 = d 2 n ; a 2 = − a 2 n − 1 , d 2 = d 2 n − 1 a_1=-a_{2n}, d_1=d_{2n}; a_2=-a_{2n-1}, d_2=d_{2n-1} a1=−a2n,d1=d2n;a2=−a2n−1,d2=d2n−1。也就是说，d数组中的数必须成对出现。由于上面的公式每一项都乘了2，因此d数组中的数必须都是偶数。
这一顿操作猛如虎，有什么用呢？别急！马上出来了！
那么怎么样的一坨数才算YES呢？
首先，都是偶数，可以在输入时就进行判断。
其次，必须成对出现，从大到小排序后，必须满足“对于任意的奇数i（ 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 1\leq i\leq 2n-1 1≤i≤2n−1），有 d [ i ] = = d [ i + 1 ] d[i]==d[i+1] d[i]==d[i+1]。判断的过程可以同时去重，以便和上述的a数组对应，如d1对应a1。
然后！！！！！
假设d数组已经从大到小排列并去重（相同的两个数只保留一个）
由于 d 1 = 2 n a 1 d_1=2na_1 d1=2na1，所以必须有 d 1 % 2 ( n − 1 ) = = 0 d_1\%2(n-1)==0 d1%2(n−1)==0， a 1 = d 1 / 2 n a_1=d_1/2n a1=d1/2n
由于 d 2 = 2 a 1 + 2 ( n − 1 ) a 2 d_2=2a_1+2(n-1)a_2 d2=2a1+2(n−1)a2，所以必须有 ( d 2 − 2 a 1 ) % 2 ( n − 1 ) = = 0 (d_2-2a_1)\%2(n-1)==0 (d2−2a1)%2(n−1)==0， a 2 = ( d 2 − 2 a 1 ) / 2 ( n − 1 ) a_2=(d_2-2a_1)/2(n-1) a2=(d2−2a1)/2(n−1)
由于 d 3 = 2 a 1 + 2 a 2 + 2 ( n − 2 ) a 3 d_3=2a_1+2a_2+2(n-2)a_3 d3=2a1+2a2+2(n−2)a3，所以必须有 ( d 3 − 2 a 1 − 2 a 2 ) % 2 ( n − 2 ) = = 0 (d_3-2a_1-2a_2)\%2(n-2)==0 (d3−2a1−2a2)%2(n−2)==0
对于任意的 2 ≤ k ≤ n 2\leq k\leq n 2≤k≤n，有 ( d k − 2 a 1 − 2 a 2 − ⋯ − 2 a k − 1 ) % 2 ( n − k + 1 ) = = 0 (d_k-2a_1-2a_2-\cdots-2a_{k-1})\%2(n-k+1)==0 (dk−2a1−2a2−⋯−2ak−1)%2(n−k+1)==0
每次“减去的数”多了一个 2 a i 2a_i 2ai，因此可以用一个变量维护。如果其中任何一个不为0，则输出NO
还有！！！！！
我们假设a数组是单调递减且不重复的，前n个数是正数！！！！如果算到哪一步， d k − 2 a 1 − 2 a 2 − ⋯ 2 a k − 1 ≤ 0 d_k-2a_1-2a_2-\cdots2a_{k-1}\leq0 dk−2a1−2a2−⋯2ak−1≤0了，那就没了！！！！如果算出哪一步的 a i a_i ai大于上一步的 a i − 1 a_{i-1} ai−1，也不可以！！！！！
C++代码
#include
flag &= (d[i]>0);
flag &= (d[i]%cnt==0);
pre += d[i]/cnt*2; //已经求过的数之和
ll now = d[i]/cnt*2; //这一个a[i]的二倍
flag &= (now<last); //a数组必须严格单调递减
//cout<
last = now;
}
if(flag) cout<<"YES"<<endl;
else cout<<"NO"<<endl;
}
return 0;
}