java求数列的最大子段和_初学讲义之高中数学十二：数列其他

数列的基本内容非常简单，但是其变化还是比较丰富的，本篇列举一些帮助打开思路

本篇重视思路和引导

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等差数列和等比数列的转换

等差数列和等比数列名字上只差了一个字，通项公式的推导过程也差不多，那么有没有什么办法把等差数列和等比数列互相转化呢？

小测验一

这个方法在前面已经学过了，请自己想想

如果马上就能想到的话，说明你至少那部分内容掌握到位了

如果想不起来的话请先认真回顾下前面全部十一篇，回顾完之后可以发现的话，说明的确理解了，但是印象还不够深刻，需要更多的训练

如果回顾完还没有想到的话，要么是你没有用心去学只是看看了事，要么是我写得还不够透彻

检验完毕，现在开始讲正文（答案）

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指数和对数

前面指数学过，

表示b个a相乘，它有性质

，这就把加法和乘法联系起来

对于等差数列

，我们把它放在指数的位置（为方便起见底数用e，用其他数字也可以），得到新的数列

，它满足：

数列

是以

为首项，

为公比的等比数列

对数运算

作为指数运算的逆运算，它的法则

可以把乘法变成加法

对于等比数列

，我们把它放在对数的真数位置（为方便起见底数用e，用其他数字也可以），得到新的数列

，它满足：

数列

是以

为首项，

为公差的等差数列

对于等比数列变等差数列有个问题，如果你主动看出来的话，说明学得到位了。如果没有主动看出，现在经提醒能找到吗？

那就是对数的真数不能为负数和零！

其他

对于公差为0的等差数列，它的各项都相同，就是常数列

对于公比为1的等比数列，它的各项都相同，也是常数列

把公差为0的等差数列放在指数位置变成等比数列，仍是各项相同的常数列，公比为1

把公比为1的等比数列放在真数位置变成等差数列，仍是各项相同的常数列，公差为0

这里可以再感受下0在加法中的含义和1在乘法中的含义，以及相应的0在指数位置时的含义和1在对数的真数位置时的含义

小结

这里虽然看起来是讲数列，实际上是重温指数和对数的基本知识

对基本知识的掌握必须做到能够主动联想、运用，对需要注意的定义域范围、分情况讨论的内容也要一并联想

这样才叫学到位了

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数列与函数

上篇开篇时讲到，数列可以看做是定义域为正整数的函数

因此函数的一些性质在数列中也会出现

小测验三

请仿照函数部分，分别讨论等差数列和等比数列的单调性、对称性、周期性

没有标准答案，能够自行分情况分析即可

这个非常简单，如果做不到的话请重温全部有关函数的内容，并大量做基础题目练习

下面是讨论（答案）

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（1）单调性

对等差数列

，如果公差d＞0

则有任意的m＞n，都有

该数列是单调递增的

如果公差是负的，是单调递减的数列，证明略

对等比数列

如果首项

，且公比 q＞1

则有任意的m＞n，都有

该数列是单调递增的

如果首项

，且公比 0＜q＜1

则有任意的m＞n，都有

该数列是单调递减的

如果公比q＜0，则各项正负交替，不具有单调性，但是绝对值的变化是有规律的

当公比-1＜q＜0，也就是q＜0且|q|＜1，则数列各项的绝对值是递减的

如果公比q＜-1，也就是q＜0且|q|＞1，则数列各项的绝对值是递增的

当首项

时的情况，请仿照上面的内容自行分析

（2）对称性

就奇函数、偶函数而言，由于数列的定义域只能是正整数，因此没有对称性

但它可以有其他的对称性：

对首项相同、公差分别为d和-d的两个等差数列，它们的“图像”关于

对称

蓝色的点属于数列

，红色的点属于

对首项互为相反数、公比相同的等比数列，它们的“图像”也关于

对称，图像略

数列的对称性其实不怎么重要

（3）周期性

等差数列真的没有周期性

等比数列如果公比为负数，在正负号上是有周期性的，全部奇数项和全部偶数项的符号相反，如果公比为-1（以及未来要学的 i 即

），等比数列就具有周期性了

-1的情况很简单，下面简要讲下 i ，为未来复数预热

我们知道，平方根下面是不能为负数的，没有意义

现在我们赋予它意义，规定

i叫作虚数单位，根据定义可知：

这样任何负实数的平方根都可以用 i 表示，比如

，

对于等比数列

，如果公比q中含有i，比如当q=i时

，

，

，

，

......

每4项一个循环周期

（4）包含三角函数的数列

刚学完的三角函数不能忘

三角函数最突出的特点在于周期性

由于等差数列的各项是等量增长的，因此对形如

的数列是具有周期的

小结

这里重点在于对已学过不同块面知识的融会贯通

讨论单调性，在于为本篇后面的极限初步做准备

讨论对称性，在于重温函数的基本知识

讨论周期性，是为未来的复数预热，以及重温三角函数的基础

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数学归纳法

数学归纳法是一种很有用的方法，尤其是对于天赋不那么出众、数学敏感性不那么强的同学

它最大的优势就在于当你看出似乎存在某种规律时，可以尝试用数学归纳法证明，而不需要试图从零开始找思路一步一步摸索

数学归纳法的关键就是两步：

第一步，确认规律“可传导”，即如果对任意的n时规律成立，可以推出n+1时规律也成立，那么这个规律就是可以传传导下去的

这是最重要的一步，也是最难的一步（其实也不怎么难），只要证明了规律“可传导”，那么这个规律就可以认为收永远成立的

第二步，确认初始条件成立，即当n=1（或者其他数）时成立

这步很简单，往往题目会给，或者代入数值计算很容易证明，但它是规律成立的基础，也很重要，一定不能忘记

有点类似函数的定义域，同样很重要、但简单，易被遗漏

下面举个很简单的例子

例：证明等差数列

，的前n项和公式为

证明：

假设当n=i时，

则当n=i+1时，

成立

又有当n=1，

成立

证明完毕

练习：请用数学归纳法证明等比数列

的前n项和为

（其中

）

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极限初步

极限是一种非常重要的思想，在大学数学里非常重要，在高中里不是重点

但2019年全国二卷中的一道题目考察了极限的思想，虽然题目中给出了线索，但远远不够，这里做个初步的介绍

极限的概念

极限可以理解为“无限接近”但“就是达不到”

它包含两个部分：

先看“就是达不到”

这个很容易理解，达不到就是达不到，就好像一个人不借助工具立定跳高，再怎么跳也跳不上10米，就是达不到

再看无限接近

什么叫无限接近呢？就是想要多近，就有多近，这个有些难以直观理解

从数学上来讲，就是对于某个关于n的式子f(n)，假设有个数字a，无论取任何数字x，都能找到n使得f(n)比x离a更近，即|f(n)-a|＜|x-a|，那么f(n)的极限就是a

举例来说，当n趋近于无穷大时，1/n就趋近于0，随便给出多么小的数字x，都能给出一个足够大的n让1/n比x的绝对值更小，也就是更接近于0

比方说你觉得x=0.000001很小了，只要取n=

，那么1/n=0.00000001，比x小

再比方利用指数取

更小得多，那么取

，则1/n=

，仍然比p小

这就是当n趋近于无穷大时，1/n趋近于0，用数学表达是：

读作：当n趋近于无穷大时，1/n的极限为0

两个重要的极限

请牢记下面两个重要的极限

（|a|＞1）

这两个极限很重要，也很容易理解

都是“当分母无限大的时候，1/n和

趋近于0”

它有什么用处呢？它的作用就是“在加减法中被忽略，在乘除法中很重要”

从数学上来看：

把任何常数C，与趋近于0的数相加，还是得到常数C本身，趋近于0的数要忽略

就好比有一卡车面粉，这时候再给他加上或去掉一粒面粉，是引不起任何变化的，要忽略

把任何常数C，与趋近于0的数相乘，这个常数就没了，得到的仍是趋近于0的数

就好比某人从100万元存款中拿出1分钱（相比较100万元而言1分钱趋近于0），银行开出很高的利息每年50%，把这一分钱存进去，每年的收益就是1分钱*50%=0.5分钱，还是趋近于0，这个很高的利息因为乘以了趋近于0的数就没了

把任何常数C，去除以趋近于0的数，会得到无穷大的数

这很容易理解，除以1/n就是乘以n，n是无穷大，C*n仍是无穷大

极限的大小

这里只比较相同类型极限的大小

当n→∞时，

这里的a越大，

的值越小，

如果加在一起，指数a大的当作0忽略

比如当n→∞时，

，

如果乘或除在一起，就按照指数的乘除计算即可，不要忽略

忽略只能在单纯的加减法中进行！

当n→∞时，

的情况与之类似

极限的应用

极限的应用就是如上所述，对于任何常数C：

与之类似

例子

下面来看2个例子

例1：当n→∞时，求

的值：

对等式上下同时乘以

可得：

=

=

=

对于分子：与3加在一起，2/n和

都要省略

对于分母：与4加在一起，

和

都要省略

因此原式=3/4

例2：2019年全国二卷选择第四题

题目中已经给出了线索：

这里α就是相当于我们的1/n

分子上的加法

和

比起

相当于0

分母上的加法α比起1相当于0

因此

这道题目的难点就在于此，需要根据一个简单的条件就能掌握题目必须的极限思想

现在开始解题：

思路：先把等式中所有同时有r和R的多项式的项进行合并，转化为两个关于r的多项式相除的形式，凑出可以消项的形式

再把多项式转化为两个关于α的多项式相处的形式

最后分别消去各多项式中指数高的α项化简即可

原式：

第一步：左边的第一项和右边含有R+r，合并这两项并化简：

第二步：把等式右边单独的

移到左边，右边分子分母同时乘以

转化为α

这里要处理下分母：

，也就是：

分子上忽略掉指数不是最低的

和

项，分母上忽略掉和常数1同时存在的α项，得到：

把α还原为r/R，化简可得：

选D

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斐波那契数列与强行凑标准式

斐波那契数列可能不少同学在小说影视动漫作品里听说过

它的定义非常简单：任意项等于前两项之和

用数学表达就是：对任何的n＞2，都有

它的通项公式是什么，该怎么求呢？

这里提供一个比较有用的方法：强行凑标准式

先看个变形的等差数列：

它的通项公式该怎么求呢？

先把

移到等号右边：

等式(1)

在等式两边同时加上个常数x，变成：

需要这个x满足p/1=(q+x)/x，即(q+x)=px，这样等式就可以化作

我们来解方程p/1=(q+x)/x 即可

这是个一元一次方程，容易解得x=q/(p-1)

在等式（）1）两边同时加上q/(p-1)：

即

也就是

是以

位首项，p为公比的等比数列

因此

数列

的通项公式为:

回到斐波那契数列

原理类似，但是更加复杂了

同样是要凑的是等比数列的标准式

，然后通过很多等式相乘-消项求通项公式

不同的是，这次等式两边相加的不是常数，二是关于

的一次单项式

通过在等式

两边同时加上一个关于

的单项式

把它变成：

的形式

即

的等比数列定义式

然后就可以相乘相消了

那么问题来了，两边同时加上一个什么样的单项式呢？

我们可以假设这个单项式是

定义式就变为：

比较两边的系数需要成比例，也就是：(1+x)/1=1/x

转化为方程就是：

解得

，

分别代入

和

，得：

当

时，

即：

是以

为首项，

为公比的等比数列

等式（1）

同理，当

时，

即：

是以

为首项，

为公比的等比数列

等式（2）

等式（1）两边乘以

，减去等式（2）两边乘以

，可以消除

化简后得：

小结

第一个例子相对简单，斐波那契数列的例子相对复杂，这里要掌握的方法的关键在于：

1.通过“硬凑”把数列的项变成代数式

2.这个代数式是能用等式逐个相加-消项的方法求出通项公式的（通常为等差或等比数列）

3.求出代数式的通项公式后再变形回去

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