java求数列的最大子段和_初学讲义之高中数学十二:数列其他

数列的基本内容非常简单,但是其变化还是比较丰富的,本篇列举一些帮助打开思路

本篇重视思路和引导


等差数列和等比数列的转换

等差数列和等比数列名字上只差了一个字,通项公式的推导过程也差不多,那么有没有什么办法把等差数列和等比数列互相转化呢?

小测验一

这个方法在前面已经学过了,请自己想想

如果马上就能想到的话,说明你至少那部分内容掌握到位了

如果想不起来的话请先认真回顾下前面全部十一篇,回顾完之后可以发现的话,说明的确理解了,但是印象还不够深刻,需要更多的训练

如果回顾完还没有想到的话,要么是你没有用心去学只是看看了事,要么是我写得还不够透彻

检验完毕,现在开始讲正文(答案)


指数和对数

前面指数学过,

表示b个a相乘,它有性质
,这就把加法和乘法联系起来

对于等差数列

,我们把它放在指数的位置(为方便起见底数用e,用其他数字也可以),得到新的数列
,它满足:

数列

是以
为首项,
为公比的等比数列

对数运算

作为指数运算的逆运算,它的法则
可以把乘法变成加法

对于等比数列

,我们把它放在对数的真数位置(为方便起见底数用e,用其他数字也可以),得到新的数列
,它满足:

数列

是以
为首项,
为公差的等差数列

对于等比数列变等差数列有个问题,如果你主动看出来的话,说明学得到位了。如果没有主动看出,现在经提醒能找到吗?

那就是对数的真数不能为负数和零!

其他

对于公差为0的等差数列,它的各项都相同,就是常数列

对于公比为1的等比数列,它的各项都相同,也是常数列

把公差为0的等差数列放在指数位置变成等比数列,仍是各项相同的常数列,公比为1

把公比为1的等比数列放在真数位置变成等差数列,仍是各项相同的常数列,公差为0

这里可以再感受下0在加法中的含义1在乘法中的含义,以及相应的0在指数位置时的含义和1在对数的真数位置时的含义

小结

这里虽然看起来是讲数列,实际上是重温指数和对数的基本知识

对基本知识的掌握必须做到能够主动联想、运用,对需要注意的定义域范围、分情况讨论的内容也要一并联想

这样才叫学到位了


数列与函数

上篇开篇时讲到,数列可以看做是定义域为正整数的函数

因此函数的一些性质在数列中也会出现

小测验三

请仿照函数部分,分别讨论等差数列和等比数列的单调性、对称性、周期性

没有标准答案,能够自行分情况分析即可

这个非常简单,如果做不到的话请重温全部有关函数的内容,并大量做基础题目练习

下面是讨论(答案)


(1)单调性

对等差数列

,如果公差d>0

则有任意的m>n,都有

该数列是单调递增的

如果公差是负的,是单调递减的数列,证明略

对等比数列

如果首项

,且公比 q>1

则有任意的m>n,都有

该数列是单调递增的

如果首项

,且公比 0<q<1

则有任意的m>n,都有

该数列是单调递减的

如果公比q<0,则各项正负交替,不具有单调性,但是绝对值的变化是有规律的

当公比-1<q<0,也就是q<0且|q|<1,则数列各项的绝对值是递减的

如果公比q<-1,也就是q<0且|q|>1,则数列各项的绝对值是递增的

当首项

时的情况,请仿照上面的内容自行分析

(2)对称性

就奇函数、偶函数而言,由于数列的定义域只能是正整数,因此没有对称性

但它可以有其他的对称性:

对首项相同、公差分别为d和-d的两个等差数列,它们的“图像”关于

对称

蓝色的点属于数列

,红色的点属于

java求数列的最大子段和_初学讲义之高中数学十二:数列其他_第1张图片

对首项互为相反数、公比相同的等比数列,它们的“图像”也关于

对称,图像略

数列的对称性其实不怎么重要

(3)周期性

等差数列真的没有周期性

等比数列如果公比为负数,在正负号上是有周期性的,全部奇数项和全部偶数项的符号相反,如果公比为-1(以及未来要学的 i 即

),等比数列就具有周期性了

-1的情况很简单,下面简要讲下 i ,为未来复数预热

我们知道,平方根下面是不能为负数的,没有意义

现在我们赋予它意义,规定

i叫作虚数单位,根据定义可知:

这样任何负实数的平方根都可以用 i 表示,比如

对于等比数列

,如果公比q中含有i,比如当q=i时

......

每4项一个循环周期

(4)包含三角函数的数列

刚学完的三角函数不能忘

三角函数最突出的特点在于周期性

由于等差数列的各项是等量增长的,因此对形如

的数列是具有周期的

小结

这里重点在于对已学过不同块面知识的融会贯通

讨论单调性,在于为本篇后面的极限初步做准备

讨论对称性,在于重温函数的基本知识

讨论周期性,是为未来的复数预热,以及重温三角函数的基础


数学归纳法

数学归纳法是一种很有用的方法,尤其是对于天赋不那么出众、数学敏感性不那么强的同学

它最大的优势就在于当你看出似乎存在某种规律时,可以尝试用数学归纳法证明,而不需要试图从零开始找思路一步一步摸索

数学归纳法的关键就是两步:

第一步,确认规律“可传导”,即如果对任意的n时规律成立,可以推出n+1时规律也成立,那么这个规律就是可以传传导下去的

这是最重要的一步,也是最难的一步(其实也不怎么难),只要证明了规律“可传导”,那么这个规律就可以认为收永远成立的

第二步,确认初始条件成立,即当n=1(或者其他数)时成立

这步很简单,往往题目会给,或者代入数值计算很容易证明,但它是规律成立的基础,也很重要,一定不能忘记

有点类似函数的定义域,同样很重要、但简单,易被遗漏

下面举个很简单的例子

例:证明等差数列

,的前n项和公式为

证明:

假设当n=i时,

则当n=i+1时,

成立

又有当n=1,

成立

证明完毕

练习:请用数学归纳法证明等比数列

的前n项和为

(其中


极限初步

极限是一种非常重要的思想,在大学数学里非常重要,在高中里不是重点

但2019年全国二卷中的一道题目考察了极限的思想,虽然题目中给出了线索,但远远不够,这里做个初步的介绍

极限的概念

极限可以理解为“无限接近”但“就是达不到”

它包含两个部分:

先看“就是达不到

这个很容易理解,达不到就是达不到,就好像一个人不借助工具立定跳高,再怎么跳也跳不上10米,就是达不到

再看无限接近

什么叫无限接近呢?就是想要多近,就有多近,这个有些难以直观理解

从数学上来讲,就是对于某个关于n的式子f(n),假设有个数字a,无论取任何数字x,都能找到n使得f(n)比x离a更近,即|f(n)-a|<|x-a|,那么f(n)的极限就是a

举例来说,当n趋近于无穷大时,1/n就趋近于0,随便给出多么小的数字x,都能给出一个足够大的n让1/n比x的绝对值更小,也就是更接近于0

比方说你觉得x=0.000001很小了,只要取n=

,那么1/n=0.00000001,比x小

再比方利用指数取

更小得多,那么取
,则1/n=
,仍然比p小

这就是当n趋近于无穷大时,1/n趋近于0,用数学表达是:

读作:当n趋近于无穷大时,1/n的极限为0

两个重要的极限

请牢记下面两个重要的极限

(|a|>1)

这两个极限很重要,也很容易理解

都是“当分母无限大的时候,1/n和

趋近于0”

它有什么用处呢?它的作用就是“在加减法中被忽略,在乘除法中很重要”

从数学上来看:

把任何常数C,与趋近于0的数相加,还是得到常数C本身,趋近于0的数要忽略

就好比有一卡车面粉,这时候再给他加上或去掉一粒面粉,是引不起任何变化的,要忽略

把任何常数C,与趋近于0的数相乘,这个常数就没了,得到的仍是趋近于0的数

就好比某人从100万元存款中拿出1分钱(相比较100万元而言1分钱趋近于0),银行开出很高的利息每年50%,把这一分钱存进去,每年的收益就是1分钱*50%=0.5分钱,还是趋近于0,这个很高的利息因为乘以了趋近于0的数就没了

把任何常数C,去除以趋近于0的数,会得到无穷大的数

这很容易理解,除以1/n就是乘以n,n是无穷大,C*n仍是无穷大

极限的大小

这里只比较相同类型极限的大小

当n→∞时,

这里的a越大,
的值越小,

如果加在一起,指数a大的当作0忽略

比如当n→∞时,

如果乘或除在一起,就按照指数的乘除计算即可,不要忽略

忽略只能在单纯的加减法中进行!

当n→∞时,

的情况与之类似

极限的应用

极限的应用就是如上所述,对于任何常数C:

与之类似

例子

下面来看2个例子

例1:当n→∞时,求

的值:

对等式上下同时乘以

可得:

=

=

=

对于分子:与3加在一起,2/n和

都要省略

对于分母:与4加在一起,

都要省略

因此原式=3/4

例2:2019年全国二卷选择第四题

java求数列的最大子段和_初学讲义之高中数学十二:数列其他_第2张图片

题目中已经给出了线索:

fe8eb6b507a5244e62ac032bbbd6587c.png

这里α就是相当于我们的1/n

分子上的加法

比起
相当于0

分母上的加法α比起1相当于0

因此

这道题目的难点就在于此,需要根据一个简单的条件就能掌握题目必须的极限思想

现在开始解题:

思路:先把等式中所有同时有r和R的多项式的项进行合并,转化为两个关于r的多项式相除的形式,凑出可以消项的形式

再把多项式转化为两个关于α的多项式相处的形式

最后分别消去各多项式中指数高的α项化简即可

原式:

第一步:左边的第一项和右边含有R+r,合并这两项并化简:

第二步:把等式右边单独的

移到左边,右边分子分母同时乘以
转化为α

这里要处理下分母:

,也就是:

分子上忽略掉指数不是最低的

项,分母上忽略掉和常数1同时存在的α项,得到:

把α还原为r/R,化简可得:

选D


斐波那契数列与强行凑标准式

斐波那契数列可能不少同学在小说影视动漫作品里听说过

它的定义非常简单:任意项等于前两项之和

用数学表达就是:对任何的n>2,都有

它的通项公式是什么,该怎么求呢?

这里提供一个比较有用的方法:强行凑标准式

先看个变形的等差数列:

它的通项公式该怎么求呢?

先把

移到等号右边:
等式(1)

在等式两边同时加上个常数x,变成:

需要这个x满足p/1=(q+x)/x,即(q+x)=px,这样等式就可以化作

我们来解方程p/1=(q+x)/x 即可

这是个一元一次方程,容易解得x=q/(p-1)

在等式()1)两边同时加上q/(p-1):

也就是

是以
位首项,p为公比的等比数列

因此

数列

的通项公式为:

回到斐波那契数列

原理类似,但是更加复杂了

同样是要凑的是等比数列的标准式

,然后通过很多等式相乘-消项求通项公式

不同的是,这次等式两边相加的不是常数,二是关于

的一次单项式

通过在等式

两边同时加上一个关于
的单项式

把它变成:

的形式

的等比数列定义式

然后就可以相乘相消了

那么问题来了,两边同时加上一个什么样的单项式呢?

我们可以假设这个单项式是

定义式就变为:

比较两边的系数需要成比例,也就是:(1+x)/1=1/x

转化为方程就是:

解得

分别代入

,得:

时,

即:

是以
为首项,
为公比的等比数列

等式(1)

同理,当

时,

即:

是以
为首项,
为公比的等比数列

等式(2)

等式(1)两边乘以

,减去等式(2)两边乘以
,可以消除

化简后得:

小结

第一个例子相对简单,斐波那契数列的例子相对复杂,这里要掌握的方法的关键在于:

1.通过“硬凑”把数列的项变成代数式

2.这个代数式是能用等式逐个相加-消项的方法求出通项公式的(通常为等差或等比数列)

3.求出代数式的通项公式后再变形回去


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