奈奎斯特稳定性判据的详细推导（手把手教，看完就会！）

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提示：本文是奈奎斯特判据的详细推导，能够透彻的了解其中的原理，如果你想快速了解该判据的步骤，可参考我的另一篇文章，链接见文末

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一、幅角原理

1.s平面到F(s)平面的映射

设s为复数变量F(s)为s的有理分式。对于s平面上的任意一点，通过F(s)的映射关系，在F(s)平面上必然可确定关于s的象

在s平面上任选一条闭合曲线 Γ ，且不通过F(s)的任一零、极点。当s从闭合曲线 Γ 上任意一点A顺时针沿曲线 Γ 运动一周后，相应地F(s)在F(s)平面上也从F(A)点形成一条闭合曲线 ΓF

即 s的取值为闭合曲线 Γ 上的无数个点，通过F(s)的运算得到无数个新的点，将这些新点连接就是我们的 ΓF

举一个很简单的例子：$$F(s)=3s$$在s平面上取闭合曲线 Γ 为 |Z| = 1 的圆，如图，经过映射之后在F(s)平面得到的图形为 |Z| = 3 的圆

2.F(s)的相角变化

先问一个问题：当s从闭合曲线 Γ 上任意一点顺时针沿 Γ 运动一周后，F(s)的相角变化了多少？
我们以一个简单的传递函数为例：$$F\left(s\right)=s-\left(2+2j\right)$$其中传递函数的零点为 z = 2 + 2j，F(s)的相角变化就是 ∠s - z 积累的角度，以下根据闭环曲线 Γ 与零点Z的关系分成两种情况讨论

①若选取的闭环曲线 Γ 未包含 z = 2 + 2j ，那么随着点s在闭环曲线上运动一周，我们以z为原点建立坐标系，发现 ∠s - z 最后没有积累角度，F(s)的相角变化为0 ：

②若选取的闭环曲线 Γ 包含 z = 2 + 2j ，那么随着点s在闭环曲线上运动一周，s回到了原来位置上，但此时 ∠s - z 顺时针积累了2π的角度，F(s)的 相角变化为2π：

所以我们得到结论：
对于闭合曲线 Γ 外的零点和极点，对应的相角变化为0
对于闭合曲线 Γ 内的零点和极点，对应的相角变化为2π

注：闭合曲线 Γ 不通过F(s)的任一零、极点。F(s)的零、极点要么在曲线里面，要么在曲线外面

3.R = P - Z

问一个问题：当传递函数同时有零点、极点，如何分析F(s)的相角变化？$$令：F\left(s\right)=\frac{\left(s-z_1\right)\left(s-z_2\right)}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)}$$F(s)可以化为$$\frac{A_{z_1}{A}_{z_2}}{A_{p_1}{A}_{p_2}}{e}^{\left({\phi }^{z_1}+{\phi }^{z_2}-\left({\phi }^{p_1}+{\phi }^{p_2}\right)\right)}$$
于是我们可以得到F(s)的相角变化$$\delta \angle F\left(s\right)=\delta \angle s-z_1+\delta \angle s-z_2-\delta \angle s-p_1-\delta \angle s-p_2$$极点p1、p2作为分母，与零点z1、z2产生的相角变化相反

幅角原理：
F(s)绕平面原点的圈数只和F(s)被闭合曲线 Γ 包围F(s)的零点和极点的代数和有关
设F(s)有Z个零点和P个极点被 Γ 包围，则s沿曲线 Γ 顺时针运动一周时，F(s)变化的相角为 2π(P - Z)，在F(s)平面上，闭合曲线 ΓF 逆时针包围原点的圈数为$$R=P-Z$$▷R： ΓF 逆时针包围原点的圈数
▷P：F(s)在s平面闭合曲线 Γ 内被包围的极点数
▷Z：F(s)在s平面闭合曲线 Γ 内被包围的零点数

R > 0 和 R < 0分别表示 曲线ΓF 逆时针包围原点和顺时针包围原点的圈数，R = 0 表示曲线 ΓF 不包围原点

为什么是 ΓF 包围原点的圈数，而不是其它点呢？
因为我们计算得到F(s)相角的变化为2π的整数倍，在F(s)平面中，要使F(s)对应的点变化的相角为2π的整数倍，那么闭合曲线 ΓF 里一定要包含原点，所以我们取包含原点的圈数

如何将幅角原理与系统稳定性结合起来呢？别着急我们慢慢往下看

二、复变函数F(s)的选择

1.如何选择F(s)才能与系统稳定性结合

☆ F(s)选择成：$$1+G(s)H(s)$$为什么？1+G(s)H(s)有什么特殊意义吗？

对于这样一个负反馈系统：

$$令：G\left(s\right)=\frac{s+2}{s+5}，H\left(s\right)=\frac{1}{s+4}$$可以得到：

发现1+G(s)H(s)的分子分母具有特殊的意义：

▷1+G(s)H(s)的零点为闭环传递函数的极点

▷1+G(s)H(s)的极点为开环传递函数的极点

那么使用1+G(s)H(s)就可以同时包含开环传函和闭环传函的极点

2. 1+G(s)H(s) 的优点

在控制系统中是利用开环传递函数来判断闭环系统的稳定性的

若我们将s平面的闭合曲线 Γ 取成整个右半平面

那么对于F(s)=1+G(s)H(s)来说，我们令F(s)在右半平面的零点数和极点数为 Z 和 P
右半平面中闭环传递函数的极点数为0，则系统稳定，即Z = 0 系统稳定
F(s)的极点为开环传递函数的极点，开环传函是已知的，即 P是已知的
在F(s)平面中，闭合曲线 ΓF 逆时针包围原点的圈数为：

$$R=P-Z$$

至此，P、Z的意义转化为：

▷R： ΓF 逆时针包围原点的圈数
▷P：开环传递函数在右半平面内的极点数，P是已知的
▷Z：闭环传递函数在右半平面内的极点数，若Z = 0 系统稳定

注意：转化的前提是 ① Γ 取成整个右半平面 ②F(s)=1+G(s)H(s)

至此我们只要结合幅角原理判断Z是否为0，即可判断系统是否稳定了

3. 1+G(s)H(s) 和 G(s)H(s) 的关系

ΓF 与 ΓGH 的关系
F(s)=1+G(s)H(s)，相当于在G(s)H(s)的实部加1，即G(s)H(s)向实轴正方向平移了1个单位得到了F(s)
G(s)H(s)对应的闭合曲线 ΓGH 向右平移一个单位得到 F(s) 对应的闭合曲线 ΓF

那么闭合曲线 ΓF 包围F(s)平面 原点的圈数 等价于 闭合曲线ΓGH包围F(s)平面 点(-1 , j0) 的圈数

则R等于 ΓGH 逆时针包围F(s)平面上 点 (-1 , j0) 的圈数

为什么要进行这个等价呢？
因为开环传递函数 G(s)H(s) 比 F(s) 更加有利于分析

至此还剩下两个问题：
①如何设计闭合曲线 Γ ，使得能取满整个右半平面？
②P是已知的，如何求得R？

三、闭合曲线 Γ 的选择

如何设计闭合曲线 Γ ，使得能取满整个右半平面？

幅角原理中要求闭合曲线 Γ 不通过 F(s)的任一零、极点，则 Γ 的选择与虚轴上有无零极点有关

为什么这里一会儿用G(s)H(s) ，一会儿又用 F(s)呢？为什么不考虑虚轴上零点的情况呢？
因为 F(s) = 1+G(s)H(s)的极点 P 就是 G(s)H(s) 的极点，而 F(s) 的零点 Z 是要求解的量，所以讨论G(s)H(s)极点的位置即可

1. G(s)H(s) 无虚轴上的极点

我们以一个以原点为圆心，半径无穷大的半圆表示右半平面：

2. G(s)H(s) 有虚轴上的极点

若虚轴上有极点，为了避免闭合曲线 Γ 通过零、极点，我们可以想办法绕过去，则画一个半径无穷小的半圆绕过极点，我们这里只讨论极点在原点的情况：

四、R的求取

R等于 ΓGH 逆时针包围F(s)平面 点(-1 , j0) 的圈数，那么我们将 ΓGH 画出来就可以计算R的大小了
在绘制曲线之前我们先解决两个问题：

①为什么要绘制 G(s)H(s) 闭合曲线 ΓGH ，而不是 ΓF ?

因为选取的s平面闭合曲线 Γ 关于实轴对称， G(s)H(s)是实系数有理分式函数，所以闭合曲线 ΓGH 关于实轴对称。所以我们只用画出 ΓGH 的一半，即Im(s) > 0,s ∈ Γ对应的闭合曲线，这里我们把它叫做半闭合曲线 ΓGH

②为什么闭合曲线 ΓGH 关于实轴对称？

首先 Γ 关于实轴对称，且G(s)H(s)是实系数有理分式函数，意思在表达式里只含有实数，我们举一个例子：$$G(s)H(s)=\frac{s+1}{s-3}$$取关于实轴对称的两点(2+2j)、(2-2j)，代入传函得到：$$\frac{3+2j}{-1+2j}\text{、 }\frac{3-2j}{-1-2j}$$很明显二者幅值相同，相角相反，关于实轴对称。

1.已知曲线 Γ 如何绘制半闭合曲线 ΓGH ？

①G(s)H(s) 无虚轴上的极点

(1)当

$$s=jw,wϵ\left[0,+\infty \right),\text{即虚轴正半轴}$$

将s = jw 代入开环传递函数G(s)H(s)，发现这就是开环奈奎斯特曲线！

(2)

$$s=\infty e^{j\theta },\theta ϵ\left(90°,0°\right]\text{，即第一象限}\frac{1}{4}\text{圆弧}$$

代入开环传递函数G(s)H(s)得

$$\frac{K{\left(\infty e^{j\theta }\right)}^m+{\left(\infty e^{j\theta }\right)}^{m-1}+\dots \dots }{{\left(\infty e^{j\theta }\right)}^n+{\left(\infty e^{j\theta }\right)}^{n-1}+\dots \dots }$$

若n > m，计算结果为平面原点
若n = m，计算结果为系统的增益K
综上，得到对应的闭环曲线为一个点，这个点就是开环奈奎斯特曲线的终点!

所以当G(s)H(s) 无虚轴上的极点时，半闭合曲线 ΓGH 就是开环奈奎斯特曲线 ！！ ，是不是突然就有迹可循了

关于奈奎斯特曲线的绘制，可以参考我的这篇文章
▷ 三种绘制奈奎斯特曲线的方法

②G(s)H(s) 有虚轴上的极点

1、极点在原点

即开环系统含有积分环节 (1/s)^v

(1)当

$$s=jw,wϵ\left[0,+\infty \right)\text{；}s=\infty e^{j\theta },\theta ϵ\left[+90°,0°\right]$$

对应的就是开环奈奎斯特曲线

(2)当

$$s=\epsilon e^{j\theta },\theta ϵ\left[0°,90°\right)\text{，即第一象限}\frac{1}{4}\text{小圆弧}$$

发现这一段圆弧的末尾就是 s=jw ，而 s=jw 是开环奈奎斯特曲线的起点，所以小圆弧对应的半闭合曲线的终点 就是开环奈奎斯特曲线的起点

$$\text{以 }G\left(s\right)H\left(s\right)=\frac{1}{s^v\left(s+1\right)}\text{为例}$$

$$\text{代入}s=\epsilon e^{j\theta }\left(\epsilon \to 0^{+}\right),\theta ϵ\left[0°,+90°\right]\text{得}$$

$$G\left(s\right)H\left(s\right)=\frac{1}{{\epsilon }^v{e}^{jv\theta }}\cdot G_1\left(\epsilon e^{j\theta }\right)$$

$$A\left(0^{+}\right)=\infty$$

$$\phi \left(0^{+}\right)=\angle v\times \left(-90°\right)+\angle G_1\left(j{0}^{+}\right)$$

观察 A 和 φ ，发现对应的半闭合曲线是一个 半径无穷大，弧度为∠v×(-90°)的圆弧，但它的起点未知
但是，我们知道对应曲线的终点就是奈奎斯特曲线的起点
所以我们以奈奎斯特曲线的起点 逆时针做一个半径无穷大、弧度为∠v×(-90°) 的圆弧

所以 当G(s)H(s) 有虚轴上的极点，且为积分环节 时
半闭合曲线 ΓGH 为 开环奈奎斯特曲线加上一个半径无穷大、弧度为∠v×(-90°) 的圆弧

举例：其中 v = 2

注：逆时针作一个∠v×(90°) 的圆弧，但圆弧的方向是顺时针，因为角度为负数

2、极点在虚轴两侧

即开环传函有等幅振荡环节

$$G\left(s\right)H\left(s\right)=\frac{1}{{\left(s^2+w_n^2\right)}^v}{G}_1\left(s\right)$$

这里就不进行证明了，直接得出结论：
当G(s)H(s) 有虚轴上的极点，且含有等幅振荡环节时
半闭合曲线 ΓGH 为 开环奈奎斯特曲线加上一个半径无穷大、弧度为∠v×(-180°) 的圆弧

同样，圆弧的终点为奈奎斯特曲线的起点，方向为顺时针

2.R = 2(N+ - N-)

通过上面的过程，绘制出了系统的半闭合曲线 ΓGH ，R是闭合曲线逆时针绕 (-1,j0) 的圈数，N+为 (-1,j0) 左侧 正穿越 的次数 (从上往下) ，N-为 (-1,j0) 左侧 负穿越 的次数 (从下往上)，通过几何关系得到

$$R=2(N_{+}-N_{-})$$

半闭合曲线 ΓGH 只有闭合曲线 ΓGH 关于实轴对称的一半

五、判断系统稳定性

$$Z=P－R$$

通过以上的步骤，我们通过画图、计算得到了R，又P是已知的，那么Z就可以计算出来了
Z是闭环传递函数在右半平面的极点数
若Z = 0 ，则系统稳定，反正系统不稳定

六、总结

我们再重新捋一遍思路
①整个推导的核心：
$$R(作图求得)=P(已知量)－Z(希望为0)$$
结合幅角原理和F(s)=1+G(s)H(s) 的性质，并取 Γ 为整个右半平面，使得R、P、Z有以下含义：

▷R： ΓF 逆时针包围原点的圈数
▷P：开环传递函数在右半平面内的极点数
▷Z：闭环传递函数在右半平面内的极点数

R同时等于ΓGH 逆时针包围F(s)平面上 点 (-1 , j0) 的圈数

因为在控制系统中是利用开环传递函数来判断闭环系统的稳定性的，开环传递函数是已知的，所以右半平面的极点P已知

②半闭合曲线的绘制

（1）若无虚轴上极点，则绘制奈奎斯特曲线
（2）若极点在原点处，含有积分环节，则绘制开环奈奎斯特曲线加上一个半径无穷大、弧度为∠v×(-90°) 的圆弧
（3）若极点在虚轴两侧，含有振荡环节，则绘制开环奈奎斯特曲线加上一个半径无穷大、弧度为∠v×(-180°) 的圆弧

③求解R

$$R=2(N_{+}-N_{-})$$

N+为半闭合曲线 ΓGH 在 (-1,j0) 左侧 正穿越 的次数 (从上往下) ，N-为 (-1,j0) 左侧 负穿越的次数 (从下往上)

④求解Z

$$Z=P－R$$

若Z = 0 则系统稳定，反之系统不稳定

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若想要再巩固奈奎斯特判据的步骤，可参考我的这篇文章：
▷奈奎斯特稳定性判据的步骤

以上是本人关于奈奎斯特判据的体会，若有错误，欢迎大家批评和交流(*^▽ ^*)/