[数学建模] TOPSIS法（考虑权重和不考虑权重）--评价类问题

建模算法整理，文章主要介绍了 TOPSIS法，主要用于解决评价类问题。
参考学习资料：清风数学建模
其他资源：2016到2020美赛o奖论文=== 姜启源 司守奎电子书===论文模板 ====算法代码
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TOPSIS法介绍

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）
可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法
TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，
其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

层次分析法的一些局限性[引出本文]

-评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异
可能会很大。

• 如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得
  评价的更加准确呢？
  

例子：单个指标的一种计算评分方式

小明同宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示：

请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。
方式一：

缺陷明显：可以随便修改成绩，只要保证排名不变，那么评分就不会改变！

方法二（正确的方式）：

1. 确定最高成绩:max:99

2. 确定最低成绩:min:90

3. 构建计算评分的公式:$\frac{x-min}{max-min}$

4. 重新计算
   

5. 补充说明：为什么不采用$\frac{x-0}{100-0}$的计算评分方式如下
   
   解释：

   1. 比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）
   2. 比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课 外竞赛得分等。
   3. 有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增 长水平的指标：GDP增速。

多个指标的完整处理步骤

将原始矩阵正向化

概述： 所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。
四种情况：

极小型指标 ->极大型指标

中间型指标 ->极大型指标

区间型指标 ->极大型指标

正向化矩阵标准化

目的： 消除不同指标量纲的影响

计算得分并归一化（参考例子）

扩展-带权重的TOPSIS

修改前步骤三

修改后步骤三

层次分析法求权重

例子(算术平均法 其他两种方式不做说明)

基于熵权法对Topsis模型的修正（承上）

概述 ：判断矩阵的确定依赖于专家，如果专家的判断存在主观性的话，会对结果产生很大的影响。（主观性太强）

熵权法：是一种客观赋权方法依据的原理： 指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应
的权值也应该越低。（客观 = 数据本身就可以告诉我们权重）
（一种极端的例子：对于所有的样本而言，这个指标都是相同的数值，
那么我们可认为这个指标的权值为0，即这个指标对于我们的评价起不
到任何帮助）

未完待续…

总结

  文章纯属建模学习整理。
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