空间权重矩阵

前言

        随着学习的深入，特别是在做空间统计分析的时候，空间权重矩阵越来越频繁的出现在我们的视野中；如空间自相关分析、地理加权回归分析等都会用到空间权重矩阵。但是笔者一直都是只用现成的软件进行操作，没有对矩阵的底层原理进行深究。这次趁着有时间，把相关的知识整理出来。

一、空间权重矩阵是什么？

        顾名思义，空间权重矩阵是反映个体在空间中依赖关系的矩阵。矩阵我们都能理解，那么空间权重到底扮演了什么角色呢？首先我们来看矩阵的形式：

        如上图定义了一个空间权重矩阵W，描述了n个个体之间的空间依赖关系。其中
$W_{ij}$代表空间中个体i对个体j的影响程度。由此 可知空间权重就是描述空间个体之间相互影响程度的大小。

        下面举个例子说明空间权重矩阵的应用：我们现在要对某个城市内商圈的吸引力$Y_i$建模，空间相关性使商圈吸引力不仅受自身影响，还与其他商圈的空间分布有密切关系。
        我们将其简化为线性模型表述：

$Y_i={\sum }_{j\ne i}\beta Y_j+{\mu }_i$

        在模型中，其他商圈对商圈i的影响程度都是相同的，但是事实真是这样吗？显然不是这样的，两个商场离得近就有更强烈的竞争关系，而离得远这种影响就弱很多。
        由此我们可以在模型中引入空间权重矩阵来解决这一问题。

$Y_i={\sum }_{j\ne i}{W}_{ji}{Y}_j+{\mu }_i$

        上式中$Y_{ji}$ 的系数$W_{ji}$就是空间权重矩阵中的第i列，即在模型中考虑其他商圈在空间上对商圈i的影响。通过考虑各因素在空间上的依赖关系，我们就得到了空间模型以此进行空间统计与分析。如空间滞后模型、空间误差模型以及GWR地理加权回归模型都是很常见的空间模型。

二、构建模型

1.方法

如何构建一个空间矩阵呢？在大多数情况下，空间矩阵的构建是外生性的，也就是由研究者根据自己的主观经验并结合研究实际自己设定的。权重需要反映空间单元之间的关系，基于这个原则有以下几种类型的空间矩阵。

1,基于邻接关系构建

当地区i与地区j相邻时，$W_{ij}=1$; 否则$W_{ij}=0$，那么要如何确定一个邻接关系呢？对于格网空间相邻关系中，相邻可以是共线的，也可是共顶点的，或者两者兼有之。相应的定义为Rook矩阵、Bishop矩阵和Queen矩阵。

相应的也可以继续延伸为二阶邻接矩阵。如下图，A的而阶Rook邻接，首先计算A的Rook邻接B，然后计算每个B的邻接，仍记为B。

2,基于距离构建

除了邻接关系外也可以用距离衡量空间关系。根据地理学第一定律，距离越近，权重影响越大。当然在空间分析中，距离不仅仅是两点间直线距离，也可以是经济距离、时间距离等虚拟距离。
一般是取距离的倒数或者距离平方的倒数。（距离越大影响越小）

经济矩阵，一般是先计算两个单元的GDP之差，然后取绝对值的倒数。

3,复合型

1，邻接+距离
实际的空间中，两个单元的距离可能很远，直接用距离，导致权重过小。可以采用一个阈值d，当区域i与区域j的距离在d内，就认为两者邻接。否则就不邻接。

2，K-最近邻矩阵
实际中也会有一个区域自身面积很小，但是周围分布了很多邻居；而面积大的反而没有太多的邻居。由此导致了权重的不平衡，我们可以采用K-最近邻矩阵解决这个问题。取一个阈值K，取单元i所有距离中最近的K个地区，记为与单元i相邻；其余的记为不相邻。

3，邻接矩阵与其他矩阵的结合
单一矩阵无法全面描述空间关系，如经济矩阵默认空间中所有单元都会发生经济联系，在实际中不是所有的单元都会有联系；我们可以采用邻接矩阵经济矩阵，即认为只有互相邻接的矩阵才会发生经济关联。
W=WdWe

这种矩阵的形式灵活多样，能反映更多非距离要素的影响，如经济、交通、情感等。在研究中更为人青睐。如下：
作者使用单元i在考察期内的平均经济水平，除以了所有研究区的平均经济水平。构建了经济矩阵。

三、总结

可以看到目前的空间矩阵最大的问题还是在于它的外生性，每个人都可以给出不同形式的矩阵，在实际建模中，大部分的重心在于模型的估计和检验中，涉及空间权重矩阵时就按常见形式设定。但实际上空间权重矩阵的选择非常敏感，直接决定了模型估计的好坏。因此学界也有一些学者，关注空间权重矩阵的内生性，使用未知的非参数函数通过模型估计空间权重。
以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了空间权重矩阵的原理和应用。未来的路还很漫长。