线性代数基础知识整理

行列式

上（下）三角行列式

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|={\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}$

副对角线行列式

$\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_{1,n}\\ 0& \cdots & a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& 0\end{array}\right|$
$=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\dots a_n$

特殊拉普拉斯展开式

$\left|\begin{array}{cc}{A}_{m\times m}& O\\ O& B_{n\times n}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{ll}A& O\\ C& B\end{array}\right|=|A||B|$

范德蒙德行列式

$\left|\begin{array}{cc}O& A_{m\times m}\\ B_{n\times n}& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& A\\ B& O\end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|$

$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$
$={\prod }_{1⩽i<j⩽n}\left(x_j-x_i\right)$

行和列和相等的行列式

${\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right|}_{n\times n}$
$=[a+(n-1)b](a-b{)}^{n-1}$

分块矩阵的行列式

$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D\end{array}\right|=|A||D|$

$\left|\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right|$
$\stackrel{\mathrm{exist}{A}^{-1}}{=}|A|\left|A-C{A}^{-1}B\right|$
$\stackrel{\mathrm{exist}{D}^{-1}}{=}|D|\left|A-B{D}^{-1}C\right|$

行列式公式

$|kA|=k^n|A|$

$\left|A^{\ast }\right|=|A{|}^{n-1}$

矩阵

$A+B=B+A$

$(A+B)+C=A+(B+C)$

$k(A+B)=kA+kB$

$(k+l)A=kA+lA$

$(AB)C=A(BC)$

$A(B+C)=AB+AC$

$(A+B)C=AC+BC$

$(kA)B=A(kB)=k(AB)$

$\left[\begin{array}{ll}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{ll}{A}_1+B_1& A_2+B_2\\ A_3+B_3& A_4+B_4\end{array}\right]$

$k\left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}kA& kB\\ kC& kD\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}X& Y\\ Z& W\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ll}AX+BZ& AY+BW\\ CX+DZ& CY+DW\end{array}\right]$
${\left[\begin{array}{ll}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{ll}{A}^n& O\\ O& B^n\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$

$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}(k\ne 0)$

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

$A^{\ast }=|A|A^{-1}$

$A=|A|{\left(A^{\ast }\right)}^{-1}$

${\left(A^T\right)}^{\ast }={\left(A^{\ast }\right)}^T$

${\left(A^{-1}\right)}^{\ast }={\left(A^{\ast }\right)}^{-1}$

$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$

${\left(A^{\ast }\right)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$

$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}A$

$A^{-1}+B^{-1}$
$=A^{-1}\left(E+A{B}^{-1}\right)$
$=A^{-1}(B+A)B^{-1}$

矩阵和伴随矩阵秩的关系

$\begin{array}{rl}& r\left(A^{\ast }\right)=\{\begin{array}{ll}n& r(A)=n\\ 1& r(A)=n-1\\ 0& r(A)⩽n-2\end{array}\end{array}$

特征值和特征向量

矩阵	特征值	特征向量
$A$	$\lambda$	$\xi$
$kA$	$k\lambda$	$\xi$
$A^k$	${\lambda }^k$	$\xi$
$f(A)$	$f(\lambda )$	$\xi$
$A^{-1}$	${\lambda }^{-1}$	$\xi$
$A^{\ast }$	$\frac{\det (A)}{\lambda }$	$\xi$
$P^{-1}AP$	$\lambda$	$P^{-1}\xi$

施密特正交化

${\beta }_1={\alpha }_1$
${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{\left({\alpha }_2,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1$
${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{\left({\alpha }_3,{\beta }_1\right)}{\left({\beta }_1,{\beta }_1\right)}{\beta }_1-\frac{\left({\alpha }_3,{\beta }_2\right)}{\left({\beta }_2,{\beta }_2\right)}{\beta }_2$

二次型

合同矩阵：当且仅当存在一个可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T}AC=B,$ 则矩阵 $A$ 合同于矩阵 $C,$ 记作 $A\simeq B$;
合同关系 是一个等价关系, 具有:

• 自反性
• 对称性
• 传递性
• 合同矩阵的秩相同
  矩阵 $A,B$ 合同等价于 $A,B$ 具有相同的正、负惯性指数, 即正、负特征值的个数相等;

正定矩阵

正定矩阵：若对任意非零向量 $x$ 有 $x^{T}Ax>0$ 恒成立, 则矩阵 $A$ 是一个正定矩阵。

正定矩阵的性质:

• 行列式恒为正
• 必须是对称矩阵
• 主对角线元素必须为正
• 必须是可逆矩阵
• 与单位矩阵合同
• 逆矩阵也是正定矩阵
• 两个正定矩阵的和也是正定矩阵
• 正数与正定矩阵的乘积也是正定矩阵
• 顺序主子式均为正
• 存在实可逆矩阵C，使A=C′C
• 存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B
• 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R

正定矩阵的充要条件：

(1)n 元实二次型 $f\left(x_1,\dots ,x_n\right)$ 正定 $\iff$ 它的正惯性指数为 $\mathrm{n};$

(2) 一个实对称矩阵 A 正定 $\iff \mathrm{A}$ 与 $\mathrm{E}$ 合同，即?可逆矩阵 $\mathrm{C},$ 使得 $A=C^{T}C$;

(3) 实二次型 $f\left(x_1,\dots ,x_n\right)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=X^{T}AX$ 是正定的 $\iff$ A的顺序主子式全大于零;

(4) 一个实对称矩阵 A 正定 $\iff$ A 的特征值全大于零;

(5) 一个实对称矩阵 A 正定 $\iff \mathrm{A}$ 的顺序主子式全大于零;

(6)A, $\mathrm{B}$ 是实对称矩阵，则 $C=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)$ 正定 $\iff \mathrm{A},mathrmB$均正定；

(7)A 实对称矩阵，A 正定 $\iff \exists$ 正定矩阵 B，使得 $A=B^k,(\mathrm{k}$ 为任意正效数 $)$ 。

正定矩阵的判定的方法:

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。