浮点数在内存中的存储

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前言

我们都知道整型数据在内存中是以补码形式存储的，并且我们可通过原码、反码和补码之间的关系很容易地进行计算。
那么浮点数在内存中又是如何存储的呢？

一、浮点数的表示方法

关于浮点数的表示方法，许多都是标准规定的，不必深究。

根据国际标准IEEE（电气和电子工程协会） 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

(-1) ^ S * M * 2 ^ E

其中：
(-1) ^ S 表示符号位，当S=0，V为正数；当S=1，V为负数。
M 表示有效数字，大于等于1，小于2。
2 ^ E 表示指数。

注：
1、这里的有效数字范围是[1,2)，可类比十进制中有效数字的范围是[1,10)。
2、指数部分以2为底数，类比十进制中指数部分以10为底数。

例如十进制中的5.0，写成二进制浮点数是101.0，用该形式表示就是(-1) ^ 0 * 1.01 * 2 ^ 2
（其中S = 0， M = 1.01， E = 2）

又如十进制中的-5.5，写成二进制浮点数是101.1（此处小数点后的第一位权重是2 ^（-1），也就是0.5，所以此处是1），用该形式表示就是(-1) ^ 1 * 1.011 * 2 ^ 2
（其中S = 1， M = 1.011， E = 2）

二、浮点数在内存中的存储

根据IEEE754标准规定：
对于32位的浮点数（float型），最高的一位是符号位S，接下里8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。
对于64位的浮点数（double型），最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

1、符号位S

对于符号位S，只有0和1两种情况，分别表示正和负，此处不多赘述

2、有效数字M

对于有效数字M，由于M的范围是[1,2)，也就是说M的整数部分一定为1，所以IEEE754标准规定：在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的小数部分。

比如保存1.01的时候，只保存小数部分01，而将整数部分的 1舍去，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。32位浮点数留给M只有23位，将第一位舍去后，就可以保存24位有效数字。

3、指数部分E

对于指数部分E，情况就比较复杂。

（1）指数部分E是一个无符号整数（unsigned int），如果E为8位（32位浮点型），那么E能表示的范围是0 ~ 255；如果E为11位（64位浮点型），那么E能表示的范围是0 ~ 2047。

那么问题来了，这个指数E显然可以为负，但unsigned int的类型使E为非负数，所以IEEE754标准规定，存入内存中时，真实的指数必须加上一个中间值（对于8位的E，这个中间值是127，对于11位的E，这个中间值是1023）。

如一个32位浮点数的E = 3，那么在存入内存中时要加上127变为130后再换算成二进制1000 0010后存储

（2）E不全为0或不全为1

下面以上文的5.0和-5.5为例讲解。

对于浮点数5.0：
S = 0
M = 1.01 需将整数部分的1去掉，然后把小数部分的01存储，后面多余的位用0补齐
E = 2 需加上127变为129并转换为2进制后存储
则5.0表示为2进制为0 10000001 01000000000000000000000
在内存中以16进制展示，即40 a0 00 00

图片中字节反向涉及到大端存储和小端存储，此处不多赘述。

对于浮点数-5.5：
S = 1
M = 1.011 需将整数部分的1去掉，然后把小数部分的011存储
E = 2 需加上127变为129并转换为2进制后存储
则-5.5表示为2进制为1 10000001 01100000000000000000000
在内存中一般以16进制展示，即c0 b0 00 00

（3）E全为0时

由于E加上后127为全0，也就是说E的真实值为-127，即该浮点数指数部分是2 ^ (-127)，显然这是一个极小的数，此时有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为以0为整数的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

（4）E全为1时
由于E加上后127为全1，也就是说E的真实值为128，即该浮点数指数部分是2 ^ (128)，显然这是一个极大的数，此时表示正负无穷大（正负号由S决定）

(3)(4)中以32位浮点数为例，64位浮点数同理

三、感谢阅读，如有错误请批评指正