入门篇-数学问题-《算法笔记》同步笔记总结与补充

专题要点：

• 编程实现数学算法：如欧几里得算法（最大公约数gcd）
• 模拟运算法则：如有理数（分数Fraction）四则运算，大整数（高精度）运算，更要注意细节的处理
• 取模，除法的思想：取模用于取某一数位的数值，除法用于分解原数（在进制转换和分解质因数运用）
• 判断素数的方法
  • 根号枚举法—— 能否整除2~sqrt(n)
  • 用素数打表得到的bool isPrime[]数组判断
• 得到素数表的方法：
  • 素数筛打表得到int prime[]
  • 暴力枚举，对范围内的数字做根号枚举法
• 素数的应用：如分解质因子
• 扩展欧几里得，组合数：建议还是学习完动态规划之后，心平气和的时候再看这部分，但愿之后我能记得回头再看一遍
  • 扩展欧几里得：数学推导可以想明白，但编程实现起来还有些困难，数学证明看得头大，尤其是前者引入了很多新的数学专业名词；
  • 组合数：总体比扩展欧几里得容易理解，中间递推公式编程涉及动态规划的思想

可解问题：

• 有些数学问题确实不容易思考，需要数学的思想考虑问题如乙组1049（找规律）和甲组1049（分析每一位出现“1”的次数）

素数打表+二次探测再散列
A1116.Come on Lets C 素数 + 散列
连续因数分解

细节注意：

• gcd(a, b)：算法结束后，a中存放的是最大公约数，b为0
• 几个数据结构体：
  • 分数（分子up，分母down）
  • 质因数（质因子x，其个数cnt）
  • 大整数（数字各位数d[]，数字长度len）

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• 有理数四则运算：要注意的细节比较多
  • 分数的化简：三步化简
    * 分母为负，同乘-1
    * 分子为0，分母置1
    * 约分（gcd）
  • 分数乘法：最好用long long防止溢出
  • 分数除法：特判分母为0的情况
  • 分数输出：注意if，else if，else的先后顺序
    • 关于括号：分子为负，输出左括号
    • 先判断整数（分母为1）输出
    • 其次假分数转换为带分数输出，分子用绝对值
    • 最后真分数输出
    • 关于括号：分子或系数为负，输出右括号

分数化简

Fraction reduce(Fraction a)//三步化简 
{
     
	if(a.up == 0) 
	{
     
		a.down = 1;
	}
	if(a.down < 0)
	{
     
		a.up *= -1;
		a.down *= -1;
	}
	Fraction ans = a;
	ll temp = gcd(a.up, a.down);
	if(abs(temp) > 1)
	{
     
		ans.up /= temp;
		ans.down /= temp;
	}
	return ans;
}

分数输出

void display(Fraction a)
{
     
	ll cof = 0;
	if(a.up < 0)
		printf("(");
	if(a.down == 1)//整数 
	{
     
		printf("%lld", a.up);
	}
	else if(abs(a.up) > abs(a.down))//假分数 
	{
     
		cof = a.up / a.down;
		a.up = abs(a.up) % a.down;
		printf("%lld %lld/%lld", cof, a.up, a.down);
	}
	else//真分数 
	{
     
		printf("%lld/%lld", a.up, a.down);
	}
	if(a.up < 0 || cof < 0)
		printf(")");
}

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• 大整数四则运算：
  • 加法，乘法：注意处理最后一次进位的问题
  • 减法，除法：注意处理高位为0的问题，还有除法的余数问题
  • 负数处理
• 素数：
  • sqrt(1.0 * n):参数应为浮点数
  • 使用素数筛注意i，j的范围：均小于maxn，含义是枚举maxn范围内的所有素数
  • 要对0，1做特判：这两个数字均不是素数
  • 打表时，要注意isPrime[]与prime[]数组大小
• 分解质因数:
  • 数据结构：结构体数组的含义
  • 特判：对质数的分解

个人做题的几点注意：

• 个人逻辑不够清晰，if，while位置先后顺序不合理，有时候不清楚应该先判断什么，会造成重复和代码冗余
• 边界细节问题分析不到位，处理不好，数组范围也总出问题
• 关于素数：
  • 区别int prime[]与bool isPrime[]数组：前者只包含素数，后者包含所有的数字，因此如果根据isPrime判断素数的话，需要将isPrime[]开的大一些，以至于大到可以包含范围内所有要枚举的数（包括合数）。例如枚举100内的素数，isPrime[]必须超过100，但prime可以开到30，因为100以内的素数只有25个
• 素数表与根号枚举优劣：

  • 素数表效率高（O(nloglogn)），占用较多的空间，尤其是isPrime[]，并且数组大小决定了数据范围的大小；

  • 根号枚举法（开根号sqrt()计算）数据范围更大，效率较低；

  • 根号枚举法（i * i < n），当i达到10⁹会溢出，应该使用long long

  • 两种较易理解的素数筛角度：二者均表示筛掉的为合数，未筛掉的为素数，其区别是数组isPrime，isSift含义和初始值。①isPrime初始默认为素数，筛掉后置为false；②isSift默认为false表示未被筛掉，筛掉后置为true
    素数筛解释：当一重循环为素数时，才会进行二重循环筛选，即二重循环在if判断语句中

int prime[maxn], pNum;//素数表与素数表长度
bool isPrime[maxn];//是否是素数
memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));//默认置0
void findPrime()
{
     
	isPrime[0] = isPrime[1] = false;//不是素数
	for(int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
     
		if(isPrime[i])//i是素数
		{
     
			prime[pNum++] = i;
			for(int j = i + i; j < maxn; j += i)
			{
     
				isPrime[j] = false;//是合数
			}
		}
	}
}

const int maxn = 100005;
int prime[maxn], pNum;
bool isSift[maxn];//是否被筛掉，true为被筛掉，筛掉的是合数，false是素数
void findPrime()
{
     
	isSift[0] = isSift[1] = true;//特判筛去
	for(int i = 2; i < maxn; ++i)
	{
     
		if(isSift[i] == false)
		{
     
			prime[pNum++] = i;
			for(int j = i + i; j < maxn; j += i)
			{
     
				isSift[j] = true;//筛去
			}
		}
	}
}