双序列型动态规划——最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

1、题目分析

公共子串一定是对应的字符按顺序都相等

找到最长的对应对子，且对子连线不能相交

2、确定状态

设A长度是m, B长度是n

最后一步：观察A[m-1]和B[n-1]这两个字符是否作为一个对子在最优策略中

如果A[m-1]在，则需要求A[0…m-2]和B[0…n-1]的最长公共子串，

如果B[n-1]在，则需要求A[0…m-1]和B[0…n-2]的最长公共子串，

如果两个都在，则需要求A[0…m-2]和B[0…n-2]的最长公共子串。

所以我们可以假设状态f[i][j]为A前i个字符A[0…i-1]和B前j个字符[0…j-1]的最长公共子串的长度。

3、转移方程

假设状态f[i][j]为A前i个字符A[0…i-1]和B前j个字符[0…j-1]的最长公共子串的长度

4、初始条件和边界情况

初始条件：空串和任何串的最长公共子串长度是0

– f[0][j] = 0, j=0…n

– f[i][0] = 0, i=0…m

5、计算顺序

逐行计算。答案f[m][n]

时间复杂度：O(MN)；空间复杂度：O(MN)

6、代码实现

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        m=len(text2)+1
        dp=[[0]*m for i in range(n)]
        pt=[[0]*m for i in range(n)]
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                if i==0:
                    dp[i][j]=0
                    continue
                if j==0:
                    dp[i][j]=0
                    continue
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
                if text1[i-1]==text2[j-1]:
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1)
        return dp[n-1][m-1]