【梳理】离散数学 第19章 初等数论 19.5 欧拉定理和费马小定理

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社
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19.5 欧拉定理和费马小定理

1、欧拉定理 设a与n互质，则aφ(n)≡1 (% n)。
证明 设 {0，1，……，n－1} 中共有与n互质的数φ(n)个，分别记为r1，r2，……，rφ(n)。因为a与n互质，ri与n也互质（1≤i≤φ(n)），所以ari也与n互质。因为对1≤i≤φ(n)，ari % n∈{0，1，……，n－1}，ri % n∈{0，1，……，n－1}，所以ari≡rt(i) (% n)。因为如果该式不成立，ari % n的结果r又和rt(i) % n一样只能在{0，1，……，n－1}取，那么r≠r1，r2，……，rφ(n)，于是r和n不互质，r和n有大于1的公因数，即ari = qn + r（q = ari / n）有大于1的公因数，不能满足ari与n互质，所以该式只能成立。
然后需要证明t(i)（1≤i≤φ(n)）是一个单射，即i≠j时t(i)≠t(j)。由模n逆元存在的充要条件，a的模n逆元一定存在，且显然与n也互质。i≠j时，设t(i)≠t(j)，则ari≡arj (% n)。由同余的性质“设c与m互质，则a≡b (% m)当且仅当ca≡cb (% m)”，代入c = a-1，得ri≡rj (% n)，但按照已规定的记法，r1，r2，……，rφ(n)这φ(n)个与n互质的小于n的数是不同的，矛盾，所以t(i)是单射。当然这个函数也是双射（定义域和值域集合的基数均为n，为满射；既是单射又是满射，就是双射）。
所以，由ari≡rt(i) (% n)且t(i)是单射，根据同余的性质“若a≡b (% m)，c≡d (% m)，则ac≡bd (% m)”，有：

而最右边与n互质，所以存在对应的模n逆元，同样根据同余的性质“设c与m互质，则a≡b (% m)当且仅当ca≡cb (% m)”，将每一项全部乘最右端的模n逆元，就得到aφ(n)≡1 (% n)，证毕。

2、设p为质数，a与p互质，那么φ§ = p－1。于是得到欧拉定理的特殊情形——费马小定理：
ap-1≡1 (% p)。或者，对任意整数a，都有ap≡a (% p)。
a与p互质时，两式等价。当a与p不互质，则一定有p | a，于是a≡0 (% p)，上式仍然成立。
费马小定理提供了一种不用进行质因数分解就能判断一个数是合数的新途径，而且还可以通过费马小定理求正整数a的模p逆元：ap-2≡a-1 (% p)。