牛客-筛子游戏 (概率dp)

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题解：
设 $dp[i]$ 表示当前分数为 $i$ 要达到目标的期望，则：

$dp[i]={\sum }_{k=3}^{k1+k2+k3}(p[k]\cdot dp[i+k])+p[0]\cdot dp[0]+1$,接下来的构造非常的妙。

设$dp[i]=a[i]\cdot dp[0]+b[i]$，那么式子可以变成：

$dp[i]={\sum }_{k=3}^{k1+k2+k3}(p[k]\cdot a[i+k]\cdot dp[0]+p[k]\cdot b[i+k])+p[0]\cdot dp[0]+1$

那么可以推出：$a[i]={\sum }_{k=3}^{k1+k2+k3}(p[k]\cdot a[i+k])+dp[0]$, $b[i]={\sum }_{k=3}^{k1+k2+k3}(p[k]\cdot b[i+k])+1$

根据递推式，就可以从后往前求出 $a[0]$ 和 $b[0]$ ,$dp[0]=b[0]/(1-a[0])$

代码

#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#define iss ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>pii;
const int MAXN=5e2+500;
const int mod=1004535809;
const int inf=0x3f3f3f3f;
double p[MAXN];
double aa[MAXN];
double bb[MAXN];
int main()
{
     
    int n,k1,k2,k3,a,b,c;
    cin>>n>>k1>>k2>>k3>>a>>b>>c;
    p[0]=1.0/(k1*k2*k3);
    for(int i=3;i<=k1+k2+k3;i++)
    {
     
        int cnt=0;
        for(int t1=1;t1<=k1;t1++)
        {
     
            for(int t2=1;t2<=k2;t2++)
            {
     
                for(int t3=1;t3<=k3;t3++)
                {
     
                    if(t1==a&&t2==b&&t3==c) continue;
                    if(t1+t2+t3==i) cnt++;
                }
            }
        }
        p[i]=1.0*cnt/(k1*k2*k3);
    }
    for(int i=n;i>=0;i--)
    {
     
        for(int k=3;k<=k1+k2+k3;k++)
        {
     
            aa[i]+=aa[i+k]*p[k];
            bb[i]+=p[k]*bb[i+k];
        }
        aa[i]+=p[0];
        bb[i]+=1.0;
    }
    double ans=bb[0]/(1-aa[0]);
    printf("%.8lf\n",ans);
}