为实习准备的数据化结构（8）-- 倾心图解红黑树

红黑树

红黑树（Red Black Tree） 是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构。
红黑树是一种平衡二叉查找树的变体，它的左右子树高差有可能大于 1，所以红黑树不是严格意义上的平衡二叉树（AVL），但 对之进行平衡的代价较低， 其平均统计性能要强于 AVL 。
由于每一棵红黑树都是一颗二叉排序树，因此，在对红黑树进行查找时，可以采用运用于普通二叉排序树上的查找算法，在查找过程中不需要颜色信息。

红黑树的特征

红黑树是每个结点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色或红色或黑色。在二叉查找树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:

性质1. 结点是红色或黑色。
性质2. 根结点是黑色。
性质3. 所有叶子都是黑色。（叶子是NULL结点）（这个性质我也不知道有什么用，最好配上上面的图看，不然会晕）
性质4. 每个红色结点的两个子结点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点）
性质5. 从任一节结点到每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点

这些约束强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的。
是性质4导致路径上不能有两个连续的红色结点确保了这个结果。最短的可能路径都是黑色结点，最长的可能路径有交替的红色和黑色结点。因为根据性质5所有最长的路径都有相同数目的黑色结点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

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红黑树自平衡的奥秘

红黑树能够实现自平衡，靠的是三个法宝：左旋、右旋和变色。
对于旋转我就不再多说了，前面的AVL树要是不够看可以再看看伸展树。

左旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。
右旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。
变色：结点的颜色由红变黑或由黑变红。

红黑树的查找也不说了，它是二叉树，所以二叉树怎么查找，红黑树就怎么查找。

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红黑树自平衡操作

插入节点

第一步: 将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入。
第二步：将插入的节点着色为"红色"。为什么是红色？你猜啊
（看一下性质五）
第三步: 通过一系列的旋转或着色等操作，使之重新成为一颗红黑树。

第二步中，将插入节点着色为"红色"之后，不会违背"特性(5)"。那它到底会违背哪些特性呢？
很显然，只有性质4.（每个红色结点的两个子结点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点））比较危险。
那接下来，想办法使之"满足性质4. "，就可以将树重新构造成红黑树了。

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昨天我躺在床上，辗转反侧，梦中顿悟，红黑树插入会有以下这么几种情况：

1、被插入的节点是根节点。
	那最好办，那说明是空树，直接涂黑就好。
2、新插入节点的父节点是黑的（新插入的节点，不会有子节点存在，这个可以放心）
	这个更好办，就插入就完了
3、新插入节点的父节点是红的
	那就有意思了。具体情况下面讨论

对于上面第三种情况的再分析：

1、新节点的父节点的兄弟节点是红的
//以下两种情况默认包含了父节点没有兄弟的情况
2、新节点的父节点的兄弟节点是黑的，且当前节点是其父节点的 右 孩子
3、新节点的父节点的兄弟节点是黑的，且当前节点是其父节点的 左 孩子
（为什么要这样分？不急慢慢看，我也纳闷儿呢！！！）

上面三种情况处理问题的核心思路都是：将红色的节点移到根节点；然后，将根节点设为黑色。下面对它们详细进行介绍。

情况一：

策略：

(01) 将“父节点”设为黑色。
(02) 将“叔叔节点”设为黑色。
(03) 将“祖父节点”设为“红色”。
(04) 将“祖父节点”设为“当前节点”(红色节点)；即，之后继续对“当前节点”进行操作。

这里需要说明一下，当祖父节点被染红，它可能会和它自己的父节点起冲突，所以需要向上递归。
就碧如这样：

为什么采用这个策略？

“当前节点”和“父节点”都是红色，违背“性质4. ”。所以，将“父节点”设置“黑色”以解决这个问题。
但是，将“父节点”由“红色”变成“黑色”之后，违背了“性质5. ”：因为，包含“父节点”的分支的黑色节点的总数增加了1。
解决这个问题的办法是：将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”。
这里为什么要将“叔叔节点”也变黑？思考思考，不难理解的。
理解不了的话对着上面那张图去数性质5.

这里需要再说明一下，当祖父节点被染红，它可能会和它自己的父节点起冲突，所以需要向上递归。

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情况二：

策略：

(01) 将“父节点”作为“新的当前节点”。
(02) 以“新的当前节点”为支点进行左旋。

草率了。。。
哎，看图吧：

呐，弄完之后，变成了第三种情况了。

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情况三：

策略：

(01) 将“父节点”设为“黑色”。
(02) 将“祖父节点”设为“红色”。
(03) 以“祖父节点”为支点进行右旋。

为什么采用这个策略？

为了便于说明，我们设置“当前节点”为S(Original Son)，“兄弟节点”为B(Brother)，“叔叔节点”为U(Uncle)，“父节点”为F(Father)，祖父节点为G(Grand-Father)。

S和F都是红色，违背了红黑树的“性质4. ”，我们可以将F由“红色”变为“黑色”，就解决了“违背‘性质4. ’”的问题；但却引起了其它问题：违背“性质5. ”，因为将F由红色改为黑色之后，所有经过F的分支的黑色节点的个数增加了1。那我们如何解决“所有经过F的分支的黑色节点的个数增加了1”的问题呢？ 我们可以通过“将G由黑色变成红色”，同时“以G为支点进行右旋”来解决。

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对于红黑树的节点插入，我讲明白了吗？
关注点赞收藏，我们继续往下。

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删除节点

相较于插入操作，红黑树的删除操作则要更为复杂一些。删除操作首先要确定待删除节点有几个孩子，如果有两个孩子，不能直接删除该节点。而是要先找到该节点的前驱（该节点左子树中最大的节点）或者后继（该节点右子树中最小的节点），然后将前驱或者后继的值复制到要删除的节点中，最后再将前驱或后继删除。

第一步：将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点删除。
第二步：通过"旋转和重新着色"等一系列来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

在第一步中"将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点删除"后，可能违反"性质(2)、(4)、(5)"三个性质。第二步需要解决上面的三个问题，进而保持红黑树的全部特性。

删除一个红色节点，并不会有什么不适。
所以我们将目光聚焦在删除一个黑色节点上。

删除一个节点有以下四种情况：

1.删除的节点没有孩子
2.删除的节点只有左子树
3.删除的节点只有右子树
*4.删除的节点拥有左子树和右子树

其实只有上面前三种情况，对于第四种情况，可以找到待删除节点的直接后继节点，用这个节点的值替代待删除节点，接着情况转变为删除这个直接后继节点，情况也变为前三种之一。（前驱和后继至多只有一个孩子节点）

1.删除的节点只有左子树或只有右子树：

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2.删除的节点没有孩子

1）待删除节点是红色的，直接删去这个节点。
2）父节点P是红色节点
　解决方案：把P节点染成黑色，兄弟节点染成红色，删除节点D。

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3）兄弟节点S是红色节点

解决方案：把P染成红色，S染成黑色，然后以P为轴做相应的旋转操作（D为P的左子树则左旋，否则右旋）

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4）节点D的远亲侄子为红色节点的情况（父节点P可红可黑）

解决方案：交换P和S的颜色，然后把远亲侄子节点SR/SL设置为黑色，再已P为轴做相应的旋转操作（D为P的左子树则左旋，否则右旋），删除节点D。

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5）节点D的近亲侄子为红色节点的情况（父节点P可红可黑）

解决方案：把S染成红色，把近亲侄子节点SR/SL染成黑色，然后以节点S为轴做相应的旋转操作（D为P的左子树则右旋，否则左旋），变成了情况4，按照情况4进行操作。

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6）节点D，P，S均为黑色节点

解决方案：把D删去，然后把节点S染成红色。

①从节点P往上依然是全黑的情况

②从节点P往上是其他情况

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哇，累。

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