双线性插值原理学习（2021.1.18）

1、双线性插值介绍

        双线性插值(也称双线性内插)，核心是在两个方向分别进行一次线性插值，在图像处理、信号分析等领域广泛应用。

2、双线性插值原理

        一元函数$y=f(x)$可以在二维空间(如平面直角坐标系)绘制成曲线，设一元函数$f(x)$，已知两点$P_1(x_1,f(x_1))$、$P_2(x_2,f(x_2))$，则根据一维线性插值求两点所连直线上的一点$(x,y)$公式如下：
                $$\frac{y-f(x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\text{\hspace{1em}(1)}$$                 即
$$y=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(x_1)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(x_2)\text{\hspace{1em}(2)}$$

        二元函数$z=f(x,y)$可以在三维空间(如空间直角坐标系)绘制曲面，设二元函数$z=f(x,y)$，已知四个点$Q_1(x_1,y_1,f(x_1,y_1))$、$Q_2(x_1,y_2,f(x_1,y_2))$、$Q_3(x_2,y_1,f(x_2,y_1))$、$Q_4(x_2,y_2,f(x_2,y_2))$利用双线性插值的本质：在两个方向上分别进行一次线性插值求解最后的插值点$(x,y,z)$
        首先在X方向上进行插值（需要固定y1、y2平面）：
                在$y=y_1$平面，$$f(x,y_1)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(x_1,y_1)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(x_2,y_1)\text{\hspace{1em}(3)}$$
                在$y=y_2$平面，$$f(x,y_2)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(x_1,y_2)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(x_2,y_2)\text{\hspace{1em}(4)}$$
        然后在Y方向上进行插值（需要固定x平面）：
$$z=\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(x,y_1)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(x,y_2)\text{\hspace{1em}(5)}$$
        综上可得：
$$z=a\ast f(x_1,y_1)+b\ast f(x_2,y_1)+c\ast f(x_1,y_2)+d\ast f(x_2,y_2)\text{\hspace{1em}(6)}$$
        其中 $a=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}\frac{y_2-y}{y_2-y_1}$      $b=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\frac{y_2-y}{y_2-y_1}$     $c=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$     $d=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

3、图像应用

        一张二维图像本质可以看成二维函数$z=f(x,y)$，如$(x,y)$即某个像素点的坐标，z即像素点处的函数值。对于二维图像来说，经常用相邻四个像素点，$x_2-x_1=1,y_2-y_1=1$，所以式(6)中分母都为1
        设图像上四个相邻点为$(x_1,y_1)$、$(x_1,y_2)$、$(x_2,y_1)$、$(x_2,y_2)$，可令$x_1=i,y_1=j$，则$x_2=i+1,y_2=j+1$,同时令$x-x_1=u$,$y-y_1=v$，则$x_2-x=1-u$,$y_2-y=1-v$
带入式(6)后如下：
$$f(i+u,j+v)=(1-u)(1-v)f(i,j)+u(1-v)f(i+1,j)+(1-u)vf(i,j+1)+uvf(i+1,j+1)\text{\hspace{1em}(7)}$$

4、上采样

        插值作为上采样的手段，往往要利用稀疏像元产生密集像元。上采样也可看作是一种小数步长的卷积。