Codeforces Round #701 (Div. 2)-F-水平线技巧优化dp

前言:

学习到一种新的优化$dp$的技巧：水平线优化。

题目大意:略

题目思路:dp,前缀和优化,水平线优化。

考虑朴素的动态规划：$dp(i,j)$代表填完前$i$位且前缀和为$j$的合法方案数.

要么符合操作一,第一种转移:$dp(i,j)\leftarrow dp(i-1,j-b_i)$

要么符合操作二,第二种转移:$dp(i,b_i)\leftarrow {\sum }_{-inf}^{inf}dp(i-1,j)-dp(i-1,0)$

注:当$j=b_i$时,同时满足操作一，操作二。所以得减去$dp(i-1,0)$.

不难发现，第一种转移就是将整个$dp$数组右移$b_i$.那么我们维护一个$off$变量代表偏移量。每次$off-=b_i$. 这样我们优化掉第一维.

对于第二种转移,我们维护一个$s$代表$dp(i-1)$的总和。

然后$dp(b_i+off)=s-dp(off+b_i)$ ---- 因为访问$dp(off)$等价于访问$dp(i,0)$,那么访问$dp(off+b_i)$等价于访问$dp(i-1,0)$

时间复杂度计算:

根据上面的转移我们不难发现，每次多出一个$b_i$，我们前缀和的总数至多增加一个.我们用map实现dp数组。时间复杂度为:$O(nlogn)$

AC代码:

#include
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair
#define pb push_back
#define mp make_pair
const int maxn = 1e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int a[maxn];
int main()
{
     
    ios::sync_with_stdio(false);
    int t; cin >> t;
    while (t--){
     
        int n ; cin >> n;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i++) cin >> a[i];
        map<ll,ll> dp;
        dp[0] = 1;
        ll s = 1 , off = 0 , add;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
     
            off -= a[i];
            add = (s - dp[off + a[i]] + mod) %mod;
            dp[a[i] + off] = (dp[a[i] + off] + add) % mod;
            s = (s + add) % mod;
        }
        cout << s << endl;
    }
    return 0;
}

参考博客：
https://blog.csdn.net/Fighting_Peter/article/details/113802017