数学奥赛小丛书 第二版 高中卷 数论 2.最大公约数和最小公倍数

前言

说明：数学系与计算机系在符号应用和认知上以及经验掌握方面边边角角会有一些出入，例如我们今天要讲的最大公约数和最小公倍数

在计算机系中一般使用键盘说事，哈哈，而在数学系中一些证明推导我们经常使用手，笔，纸。

因此：gcm and lcm 便是常被写入代码中的符号喽，
remark :gcm:最大公约数，英文单词：great common divisor

      **lcm:最小公倍数，英文单词：least common multiple**
      common 就是普遍的，共同有的
      divisor 为 因数（它把人家给分了嘛，那可不就是因数干的活嘛，嘿嘿），
      multiple除了多样的之外还有一个名词的意义：倍数。

而在数学中我们现阶段写的符号如下：
(a,b)就外边哪一个括号就代表了最大公约数，（a,b)的含义就是a与b 的最大公约数。
[a,b]就这个在英文状态下输入的方框括号代表了最小公倍数，其含义为a&b的最小公倍数。

正文：对于这一部分，个人认为除了裴蜀等式需要新认知一下，别的一些性质以及结论自己想一想就可以想明白了。

这些可以称得上是最大公约数的一些简单的性质：

1. 任意改变a,b的符号不改变其最大公约数的值
2. 最大公约数关于a,b对称，故有：(a,b)=(b,a)
3. (a,b+a*x)=(a,b)

下看裴蜀等式：
1.
设a,b是不全为0的整数，则存在整数x,y使得
ax+by=(a,b)
2.
if x=x0,y=y0是满足上式的一对整数，则等式
a*(x0+bu)+b(y0-au)=(a,b)：u为任意整数。
表明:
满足上式中的x,y有无穷多组；
ab>0时，此时x,y的选取符号是互异的；
3.
由上我们很容易的便可以得到：
两个整数a,b互素的充分必要条件是存在x,y使得：
ax+by=1
(这一条结论我记得在高等代数证明两个多项式是否互素中十分有用，用到了一种思想:构造思想，就是要将此处整数全都换成多项式，找到对应的多项式使其成立即可，嗯：常数是零次幂的多项式）

图片上便是杂七杂八的一些结论，也许在某些地方会十分好用。

一些个概念：

这些可以说是我们小学所学知识的拓广

有理函数分为：
1真分式：分子次数小于分母次数
2假分式：分子次数大于等于分母次数：由多项式的带余除法，我们可以把假分式唯一的化为多项式和真分式的和，因此我们在求不定积分的时候可以只需要讨论真分式的不定积分即可。

既约分数：就是分子和分母是互素的，不可再约的，形变而心不变，其本质还是让我们去围绕互素去讨论，或者可以牵扯到上一章整除。因为他们互素等同于他们是不整除的。

费马数：费马数两两互素。(Fermat)
看一个好玩的公式吧：
Fk=2^⁽²^k)+1，k>=0
(有关这个排版还在摸索之中，请多多见谅，原我们一起进步）