第 2 章 算法分析

算法（algorithm）是为求解一个问题需要遵循的、被清楚地指定的简单指令的集合。

2.1 数学基础

定义：

    如果存在正常数 和  使得当  时 ，则记为 。（上界，小于等于）

    如果存在正常数 和  使得当  时 ，则记为 。 （下界，大于等于）

     当且仅当  且 。（等于）

    如果  且 ，则 。  （上界，小于）

以上定义的目的是要在函数间建立一种相对的级别。

重要结论：

    法则 1：

        如果  且 ，那么

        (a) ,

        (b) 

    法则 2：

        如果  是一个  次多项式，则 。

    法则 3：

        对任意常数 ， 。它告诉我们对数增长地非常缓慢。

注意事项：

    1. 在需要大 O 表示的任何分析中，各种简化都是可能发生的。低阶项一般可以被忽略，而常数也可以弃掉。

    2. 总能够通过计算极限  来确定两个函数的相对增长率时，必要的话可以使用洛必达法则：

• 极限是 0：即 。
• 极限是 ：即 。
• 极限是 ：即 。
• 极限摆动：二者无关。

2.2 模型

    模型机是一台标准的计算机，指令被顺序地执行。

    做任何简单的工作都恰好话费一个时间单元。

    有固定范围的整数并且不存在诸如矩阵求逆或排序等运算。

    且具有无限的内存。

2.3 要分析的问题

    考虑输入规模对时间的影响。当输入为 N 时，用  表示算法所花费的平均运行时间，用  表示算法在最坏情况下的运行时间。

    一般来说，若无相反的指定，则所需的量是最坏情况下的运行时间。

最大的子序列和问题：

   给定整数 , , , （可能有负数），求  的最大值（为方便起见，如果所有整数均为负数，则最大子序列和为 0）。

这个问题所以有吸引力，主要是因为存在求解它的很多算法，而这些算法的性能又差异很大。

因此只要可能，使得算法足够有效而不致成为问题的瓶颈是非常重要的。

2.4 运行时间计算