学习笔记-汉诺塔问题

在学习MOOC上嵩天老师讲解的Python语言程序设计中老师在讲解递归用法的时候提到了汉诺塔问题；

这个问题我迟迟难以明白，困扰很久，在多方面资料的搜寻下，终于理解，问题分析思路如下：

• 首先我们需要理解汉诺塔问题是什么？

有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个黄金圆盘。

游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。

操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。

引用于百度百科

• 如何理解递归？ 

在课程中老师讲到递归的定义时，通过类似的数学归纳法（一种数学证明方法）来理解递归；

初中我们都学过数学归纳法，比如我们证明一个定理成立的时候，一般我们采用数学归纳法可以这样证明：

首先证明当N=0的时候，某一个命题成立

接下来假设当N=K时命题成立

进一步证明当N=K+1时，命题也成立

如果这两个步骤都是对的，那我们就能证明某一个命题成立。

这是数学归纳法对递归的一种使用，也可以理解为是数学归纳法思维在编程中的一种体现。

• 如何使用递归来解决汉诺塔问题？

1，首先需要明确基例和链条，然后采用函数+分支语句的写法来完成代码编写。

2，虽然我们需要移动很多圆盘但是我们可以抽象理解，只将n个圆盘化解为n-1个圆盘的搬运，我们只知道递归过程，只关心递归链条，我们只关心当圆盘数量为n的时候，他怎么拆解为当前n与n-1当前之间的一个关系，至于n-1下面怎么去做，我们不需要关心他。 

下面给出代码进行分析（附上汉诺塔小游戏辅助理解）

count = 0  #设置一个计数变量count
def hanoi(n, src, mid, dst):
    global count  #将变量声明为全局变量

设置一个计数变量count，并利用保留字global让count变量在函数中变成全局变量，防止在每次调用时候初值被清零。

再定义四个参数，分别为圆盘的数量n，源头柱子src，过渡柱子mid，目的柱子dst。这里因为方便对应A，B，C三根柱子所以将老师的参数mid和dst互换位置。

count = 0  #设置一个计数变量count
def hanoi(n, src, mid, dst):
    global count  #将变量声明为全局变量
    if n == 1:
        print("{}:{}->{}".format(1, src, dst))  #打印A柱到C柱过程
        count += 1

用if分支语句先判断基例n=1时相应的变化过程，此时只需要打印出src（A柱）到dst（C柱）的这一个过程，过程用到format方法，使用模板"{}:{}->{}"格式化，再用复合赋值运算符表示变量count的连加计数方法。

count = 0  #设置一个计数变量count
def hanoi(n, src, mid, dst):
    global count  #将变量声明为全局变量
    if n == 1:
        print("{}:{}->{}".format(1, src, dst))  #打印A柱到C柱过程
        count += 1
    else:
        hanoi(n - 1, src, dst, mid)  #A柱上n-1到B柱利用C柱过渡的过程
        print("{}:{}->{}".format(n, src, dst))  #打印A柱剩余n到C柱的过程
        count += 1
        hanoi(n - 1, mid, src, dst)  #B柱上n-1到C柱利用A柱过渡的过程

接着我们判断链条,其中n和n-1的关系在汉诺塔问题中可以参考图解汉诺塔

这样既然是n个圆盘，从A搬到C，我们可以将n个圆盘中的n-1个圆盘，先从A搬到B，这样的话呢，A柱子中就剩下了最后一个圆盘，我们将最后一个圆盘直接搬到C，然后再将B柱子中的n-1个圆盘挪到C柱子上，这样就实现了A柱子的所有圆盘，向C柱子的一个搬运过程。

count = 0  #设置一个计数变量count
def hanoi(n, src, mid, dst):
    global count  #将变量声明为全局变量
    if n == 1:
        print("{}:{}->{}".format(1, src, dst))  #打印A柱到C柱过程
        count += 1
    else:
        hanoi(n - 1, src, dst, mid)  #A柱上n-1到B柱利用C柱过渡的过程
        print("{}:{}->{}".format(n, src, dst))  #打印A柱剩余n到C柱的过程
        count += 1
        hanoi(n - 1, mid, src, dst)  #B柱上n-1到C柱利用A柱过渡的过程
hanoi(3, 'A', 'B', 'C')
print(count)

接着我们打印出来3个圆盘的过程和次数。

• 最终代码

count = 0  # 设置一个计数变量count


def hanoi(n, src, mid, dst):
    global count  # 将变量声明为全局变量
    if n == 1:
        print("{}:{}->{}".format(1, src, dst))  # 打印A柱到C柱过程
        count += 1
    else:
        hanoi(n - 1, src, dst, mid)  # A柱上n-1到B柱利用C柱过渡的过程
        print("{}:{}->{}".format(n, src, dst))  # 打印A柱剩余n到C柱的过程
        count += 1
        hanoi(n - 1, mid, src, dst)  # B柱上n-1到C柱利用A柱过渡的过程


hanoi(3, 'A', 'B', 'C')
print(count)