Introduction to Linear Optimization 2.1 多面体和凸集

0 序言

最近打算在CSDN上将自己学习本书的过程记录下来，整个系列对于我来说更像是读书笔记，同时也放在网上供大家阅读。由于本人非数学科班出身，仅仅是对运筹优化方面有兴趣而学习，因此对于某些定义的理解、把握以至于推导不甚精通，其中若有错误，还希望大家不吝指教。

本书第一章Introduction中内容我已略去，其主要原因是该章节内容比较基础且多为介绍性的内容，基本上没有理解性的内容，因此主要从第二章线性规划图解法开始写，书中某些难度较高以至于不适合初学者学习的章节我也都会略过。

全书共12章，2至5章为线性规划主要内容，分别为：

2. 线性规划图解法
3. 单纯形法
4. 对偶理论
5. 灵敏度分析

在国内运筹学教材上普遍存在的内容，如：运输问题、线性目标规划、图论、排队论、存储论等等，非本系列的重点，本系列主要重点是围绕着 Introduction to Linear Optimization 展开讨论的，因此如排队论，存储论等内容，本系列不会出现。而对于图论、整数规划等内容，也非本系列的重点，我本人也不会在此类章节上过多的费口舌。

国内部分高校本科所开设的运筹学这门课程，通常为一个学期结课，因此对于很多本科学习过运筹学的同学（非数学专业），通常都存在着困惑。学习完之后感觉这门学科好像很厉害，但是却不明白其中的道理为何。本人也是如此，因此本系列最好的受众就是对于运筹学有一些基础的了解，但又不明其理、或是初学运筹学的同志们当作笔记阅读。

在这里我再次声明：本人非数学科班出身，仅仅是浩如烟海般的群众的一部分，没有接受过什么教育，本人对于运筹学的认知是非常浅薄的，仅仅因为兴趣而为之。因此，若你是业界学术大佬，对于文章中的错误还望不吝指教，我再此再三感激；若你是与我一样的初学者，我希望我们更是以一种同学的身份共同进步。

（声明：本书绝大多数专有名词我都会用中英文结合的方式来表示出，如：极点(extreme points)，但是当遇到过于简单的专有名词的时候，如：线性规划图解法(The geometry of linear programming)，我仅仅会表达中文意思，当遇到我自己认为没有合适的中文名词对应的专有名词时，我会采用原书的英文表达方式，并附加我对其的一些理解）

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1. 超平面，半空间和多面体

多面体的表示

我们先来看原书中的几个定义：
Definition 2.1 A polyhedron is a set that can be described in the form { x ∈ Rⁿ | Ax ≥b}, where A is an m*n matrix and b is a vector in R^m.
注：Rⁿ与R^m分别代表n维和m维的欧式空间

从代数的角度理解多面体（polyhedron），即多面体是一个n维列向量 x 的集合，该集合中的所有元素 x 满足线性方程组 Ax ≥b

若从几何的角度理解多面体，不妨先从低维度的来看
我们以二维为例

假设在xOy平面内，存在如下集合

x - y ≥ -3 2*x + y ≤ 6 x,y ≥ 0

即该集合所表示的图形如下图绿色区域所示
当 x 的维数上升至3维时，一个多面体的形状就变为了3维欧式空间中的“体”，当维数超过3维达到更高的n维时，便没有直观上的图来描述了，因为我们所生活的世界就是3维欧式空间。

多面体的分类

不同的多面体根据其集合所包含的方程组不同，主要可以分为有界的（bounded）与无界的（unbounded），在上一个例子中展示出的多面体即为有界的，显而易见，我们很容易给出一个无界的多面体的例子，如：

x ≥ 0 y ≥ 0

即为xOy坐标系的第一象限（图略）

超平面与半空间的表示

Definition 2.2 Let a be a nonzero vector in Rn and let b be a saclar.
(a) The set { x ∈ Rⁿ | a’x = b} is called a hyperplane.
(b) The set { x ∈ Rⁿ | a’x ≥ b} is called a halfspace.
注：a’ 代表列向量 a 的转置

超平面在2维情况下为一条直线，在3维情况下为一个平面，以此类推。

而半空间即为空间的一半。我们知道，在任意维数(n ≥ 1)情况下，其所构成的空间皆是无限的，如：一根直线，一个平面，一个体…

因此我们在平面上任意确定的一点，在平面上任意确定的一条线，在体内任意确定的一个平面，都可以将对应的空间划分为两半，因此我们称其为半空间。而两个半空间之间的界限，我们称其为超平面。

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2.凸集

Definition 2.3 A set S ⊂ Rⁿ is convex if for any x,y ∈ S, and any λ∈[0,1], we have λx + (1 - λ)y ∈ S.

凸集（convex sets）的定义是非常容易从几何的角度去理解的，如上例所示的在二维欧式空间内的多面体：

从直观上理解即：该多面体所构成的集合没有“凹”的地方，即：集合内任意两点（元素）的连线上的所有点（元素）仍在集合内。

一些定理

通过以上的一些定义，我们可以得到下述定理：
Theorem 2.1
(1) The intersection of convex sets is convex.
(2) Every polyhedron is convex set.
(3) A convex combination of a finite number of elements of a convex set *

证明略

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小结

本节主要介绍了有关于多面体（polyhedron）与凸集（convex set）及其相关的知识。这一部分的内容是 LP 的基础理论部分，或许在初学时不明白为何要出现这么多的“奇怪的”定理及定义。这说明你对于LP的理解仍不够深入。简单来说，美国前运筹学会主席S.Bonder认为，运筹学应在三个领域发展：

1. 运筹数学
2. 运筹学应用
3. 运筹科学

而运筹数学时运筹学理论的支柱部分，有着严密的理论证明，固然给运筹学的高楼打下了坚实的地基，这在某一方面来说是好事。但是这一点也使得很多专家过于深入于运筹数学深处，而忘记运筹学的初衷——解决实际问题，忽略了多学科的横向交叉联系和解决实际问题的客观需求。

而本节及后续几节所叙述的内容，主要属于运筹数学方向的内容，目的是为了保证运筹学的数学逻辑严密性，初学者对于这些定理不解其意也无妨大局。当学习到后面的内容时，再回过头来看自然会恍然大悟。

我认为这些晦涩的基本理论的学习对于初学者不甚友好，因此我建议对于运筹理论认识尚浅的同学一定要多进行数形结合，不单单是从代数的角度理解，更是从一种几何的角度去理解；而且初学时，切勿钻牛角尖；这样对于定理的学习大有裨益。

好比本节中所学的多面体与凸集，通过数形结合，可以很直观的理解其所代表的含义。

参考文献

[1] Dimitris Bertsimas,John N. Tsitsiklis . Introduction to Linear Optimization[M]. 1997: 42-46
[2] 运筹学教材编写组. 运筹学[M]. 清华大学出版社, 2012年第四版: 3-12

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