计算几何基础知识整理 代码模板与证明过程

计算几何基础知识

一、求$\pi$的方法

我们在代码中一般把$\pi$记作PI，PI = acos(-1)。因为我们都知道cos($\pi$) = -1，所以PI = arccos(-1)。
acos()

二、余弦定理

c^2 = a^2 + b^2 - 2acos(t);

三、向量

（1）向量的加、减、数乘运算

计算：坐标分别直接相加减乘。
对应几何意义：平行四边形法则。

（2）向量的内积

内积也称作点积：$a\cdot b=|a|\cdot |b|\cdot cos\theta$

数学计算：就是x、y坐标分别相乘再相加即可。即若$a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)$ 。则$a\cdot b=x_1\times x_2+y_1\times y_2$ 。内积得到的答案是一个数值。

几何意义： 向量A、B的内积就等于向量A在向量B上的投影长度乘向量B的长度。

代码实现

double dot(Point a,Point b)
{
     
	return a.x * b.x + a.y * b.y;
}

（3）向量的外积

外积也称作叉积：$a\times b=|a|\cdot |b|\cdot sin\theta$

数学计算：$a\times b=x_1\times y_2-x_2\times y_1$

几何意义： 外积求出来的是以向量A和B为两边的三角形面积的两倍，也就是以向量A和B为两边的平行四边形面积。这里求出来的面积是个有向面积，是分正负的，与角度有关。

叉积的前后顺序是有要求的，交换顺序后的答案是相反的，因为他计算的是有向面积，他取的角度是前者逆时针旋转到后者的角度为$\theta$，而不单纯的是二者的夹角。$u\times v=-(v\times u)$

代码实现

double cross(Point a,Point b)
{
     
	return a.x * b.y - b.x * a.y;
}

（4）向量常用函数

1、求向量的模

$|a|=\sqrt{a\cdot a}$

double len(Point a)
{
     
	return sqrt(dot(a,a));
}

2、计算两向量夹角

$cos\theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}$

double angle(Point a,Point b)
{
     
	return acos(dot(a,b) / len(a) / len(b));
}

3、计算两向量构成的平行四边形有向面积

$S_{平行四边形}=a\times b$

double area(Point a,Point b)
{
     
	return cross(a,b);
}

4、求向量A顺时针旋转角度$\theta$后的向量

记原向量A = (x，y)，旋转后$\theta$角度后的向量是(x’，y’)
则有$(x^{\prime },y^{\prime })=(x,y)\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$
在计算机上记$\theta$角的大小为angle

Point rotate(Point a,double angle)
{
     
	return Point(a.x * cos(angle) + a.y * sin(angle) , -a.x * sin(angle) + a.y * cos(angle));
}

四、点与直线

（1）直线的表示形式

①一般式：ax + by + c = 0		//可以处理所有直线
②斜截式：y = kx + b		//较为直观，但无法处理竖直的直线，需特判竖直线
③点向式：p0 + tv			//最常见，这里的p0是直线上的一点，v是平行直线的一个向量。每一个t对应直线上的一个点

（2）判断点是否在直线上

随意取直线上一个非零向量（或两点），做一个向量起点到该点的向量，判断这两个向量叉积是否为0。
为0说明其组成的平行四边形面积是0，说明点在直线上；不为0说明点不在直线上。

bool on_line(Point p,Point a,Point b)
{
     
	Vector v = b - a,u = p - a;
	if(cross(v,u) == 0)
		return 1;
	else
		return 0;
}

（3）判断点是否在线段上

首先先判断ab向量和ap向量的叉积是否为0，和直线一样先判断是否共线；然后就要判断p在线段上还是在线段两边，这里我们只需要判断ap向量和bp向量的方向即可，只要这两向量是反向的，就说明p在ab中间，在线段上，这通过两向量的点积来判断，若点积小于等于0，说明是反向的，在线段上。

bool on_segment(Point p,Point a,Point b)
{
     
	Vector v = b - a,u = p - a,l = p - b;
	return (cross(v,u) == 0 && dot(u,l) <= 0);
}

（4）判断两直线是否相交，求交点

若cross(v,w) == 0，则两直线平行或重合，否则可求交点（直线一般用点向式表示）

Point intersection(Point a,Vector v,Point q,Vector w)	//点向式表示直线
{
     
	Vector u = p - q;
	double t = cross(w,u) / cross(v,w);
	return p + v * t;
}

证明：证明过程在这里

（5）点到直线的距离

double distance_line(Point p,Point a,Point b)
{
     
	Vector v1 = b - a,v2 = p - a;
	return fabs(cross(v1,v2) / len(v1));
}

这里是已知直线上任意两点a、b，求p到直线的距离
证明：证明过程在这里

（6）点到线段的距离

double distance_segment(Point p,Point a,Point b)
{
     
	if(a == b)
		return len(p-a);
	Vector v1 = b - a,v2 = p - a,v3 = p - b;
	if(dot(v1,v2) < 0)
		return len(v2);
	if(dot(v1,v3) > 0)
		return len(v3);
	return distance_line(p,a,b);
}

证明：证明过程在这里。

（7）点在直线上的投影

Point projection(Point p,Point a,Point b)
{
     
	Vector v = b - a,u = p - a;
	return a + v * (dot(v,u) / dot(v,v));
}

证明：证明过程在这里

（8）判断线段是否相交

已知两线段$a_1{a}_2$和$b_1{b}_2$，判断是否相交

bool segment_intersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2)
{
     
	double c1 = cross(a2 - a1,b1 - a1), c2 = cross(a2 - a1,b2 - a1);
	double c3 = cross(b2 - b1,a2 - b1), c4 = cross(b2 - b1,a1 - b1);
	return (c1 * c2 <= 0 && c3 * c4 <= 0);
}

证明：证明过程在这里

计算几何之多边形

一、三角形

（1）三角形的面积

求三角形面积分为两种情况，若给的是顶点坐标，就用叉积法来求，若给的是三边长，就用海伦公式来求。

海伦公式

已知三边长为a、b、c。

p = (a+b+c) / 2;
s = sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c));

（2）三角形的四心

1、外心

外接圆圆心。三边中垂线交点，外心到三顶点的距离相等。

2、内心

内接圆圆心。三条角平分线交点，内心到三边的距离相等。

3、垂心

三条高的交点

4、重心

三条中线的交点
（重心的两个性质：1、他是到三角形三顶点距离的平方和最小的点。2、他也是三角形内部到三边距离之积最大的点）

二、凸多边形

（1）定义

凸多边形是指过多边形的任意一边做一条直线，如果其他各个顶点都在这条直线的同侧，则把这个多边形叫做凸多边形

（2）凸多边形的性质

1、任意凸多边形的外角和均为360°
2、任意凸多边形的内角和为（n-2）180°

三、多边形

（1）求多边形的面积

任取平面上一点P，然后逆时针依次枚举多边形的每条边，用点P到该边起点 的向量叉乘该边，将所有答案相加就是该多边形的面积的两倍，如下图：

如图：$S_{平行四边形ABCD}=\frac{PA\times AB+PB\times BC+PC\times CD+PD\times DA}{2}$

我们一般选取多边形的一个顶点p[0]作为定点，便于计算，因为叉积得到的是有向面积，所以红色的是被减去的，蓝色的是加上的，最后枚举完所有边后，得到的有向面积就是多边形的面积（可以自己画图试一下）。

代码模板

//求面积的方法有很多，这里给两个方法
//方法一：枚举每个点，这里取原点o作为定点方便计算
double polygon_area(Point p[],int n)
{
     
	double s = 0;
	for(int i = 1;i < n;i++)
		s += cross(p[i],p[i-1]);	//cross是计算叉积
	s += cross(p[n-1],p[0]);
	return s / 2;
}

//方法二：枚举多边形的每条边，如上图
double polygon_area(Point p[],int n)
{
     
	double s = 0;
	for(int i = 1;i < n-1;i++)
		s += cross(p[i] - p[0],p[i+1] - p[i]);
	return s / 2;
}

（2）判断点是否在多边形内

①射线法：从该点出发，任意做一条和边不平行的射线，若射线和多边形交点个数是奇数，说明在内部；若为偶数，说明在外部。
②转角法：从该点依次向多边形每个顶点做向量，然后判断转过的角度是不是360°，若是，则在内部；否则在外部。
③（若该多边形是凸多边形）则可判断该点是不是在所有边的左侧即可。可以用向量的叉积判断左侧。

（3）皮克定理

皮克定理是计算格点中的多边形面积公式，格点是指所有点坐标都为整数的点。
$S=a+\frac{b}{2}-1$
这里的a是多边形内部格点的个数，b是多边形边上格点的个数。