概念解析：欧拉角、姿态角、旋转矩阵、方向余弦矩阵、四元数、万向死锁

任意物体绕自己的各个轴旋转，其【姿态的变化】情况可以用旋转矩阵R来表示。所谓【姿态的变化】情况，可以这样理解：

前提：大地坐标系G系与大地固连，物体坐标系B系与飞机固连（X轴的方向为机头方向，Y轴的方向为左翼，Z轴方向朝天），初始状态下，令两个坐标系完全重合。

问题：现在我在飞机上任取一点A，该点在大地系的坐标为A0=（x0,y0,z0），（显然此时该点在机体系的坐标是一模一样的），那么当飞机绕自己的X轴旋转θ弧度后，问该点在大地系的新坐标A1？

答：A1=Rx * A0，这就是【旋转矩阵】所代表的【姿态变化】情况。而且，如果飞机先绕自己的X轴转（横滚Roll），再绕自己的Y轴转（俯仰Pitch），再绕自己的Z轴转（航向Yaw），想求点A在大地系的新坐标，只需把坐标A0依次左乘3个旋转矩阵即可，，也即A1 = Rz*Ry*Rx*A0。如果旋转顺序不同，这3个R矩阵的连续左乘的结果，肯定是不同的（因为矩阵乘法不满足交换律，除了一类特殊矩阵以外，显然旋转矩阵几乎不存在满足交换律的情形），这就是所谓的【欧拉角】的旋转是有顺序的。Roll、pitch、yaw三次旋转的角度就叫欧拉角。

连续3轴的旋转对应的3个旋转矩阵的有序乘积，称为方向余弦矩阵DCM（direction cos matrix），以下简称D矩阵。实际上DCM还可以从不同的理解角度来构造，请自行百度这篇文章《方向余弦矩阵(DCM)简介》，这篇文章是老外的论文翻译，已经在网上被转载了无数次，很容易找到（不过我要提醒一点的是，文章的第5小节关于磁力计矫正的部分是错误的，只有在赤道地区才能应用他这套理论。文章的其余部分没问题）。

欧拉角存在的一个问题是，旋转顺序会影响人的直觉感知，举个例子，本来Z轴的旋转代表航向YAW动作，但是，如果你先让飞机俯仰90读，令机头朝下，此时不管你让飞机的Z轴旋转多少度，机头的航向并不会发生任何变化。

 

其实，更符合人类直觉的姿态定义是：【姿态角】，定义是这样的，机头X轴与水平面的夹角称为俯仰角pitch，左翼Y轴与水平面的夹角称为横滚角Roll，机头X轴在水平面的投影与正北（或者正东，这个由你的喜好决定）的夹角称为航向角Yaw。你会发现，原来【姿态角】和【欧拉角】都有roll、pitch、yaw三个角，但是这3个角的定义根本不是一个东西！

很多人都觉得欧拉角描述物体的姿态很直观，实际上是错把【姿态角】当成了【欧拉角】而已，大多数情况下欧拉角很不直观！

【欧拉角】最适合直观描述的东西，我只想到一个非常好的例子，那就是求三关节机械臂末梢的姿态，每个关节都是一个舵机，可以顺次用三个舵机的转角的旋转矩阵乘积来表出，这三次转角恰好就是【欧拉角】。

欧拉角的万向死锁问题，网上流行的那个老外做的陀螺动画，相信这篇文章的读者你也看过，我看了100遍硬是没看懂。

最后在公式推导中才搞明白，要理解这个问题需要一些公式，博客打公式不方便，我直接在word里写好，贴图了，如下：

以上

 

一旦把欧拉角、DCM理解通透之后，再去学习四元数就会如鱼得水，四元数的推导与证明过程，较为复杂，也是该领域最值钱的知识，在飞控EKF中被广泛运用。大体思路就是从三维空间的轴角旋转公式，一步步联系到四元数乘法，很有意思。

 

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